Introduction

Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena

doi:10.1090/stml/059/01

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“…A more formal proof of the statement above can be obtained from the Schur-Weyl duality 2 [32]: the direct product of k copies of the fundamental representation N of SUðNÞ decomposes into a direct sum over irreducible representations labeled by all ordered partitions…”

Section: The Minimal Direct Product Of Fundamental Representationmentioning

confidence: 99%

SmallestSU(N)hadrons

Profumo

2020

Phys. Rev. D

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If new physics contains new, heavy strongly interacting particles belonging to irreducible representations of SU(3) different from the adjoint or the (anti)fundamental, it is a nontrivial question to calculate what is the minimum number of quarks/antiquarks/gluons needed to form a color-singlet bound state ("hadron"), or, perturbatively, to form a gauge-invariant operator, with the new particle. Here, I prove that for an SU(3) irreducible representation with Dynkin label ðp; qÞ, the minimal number of quarks needed to form a product that includes the (0,0) representation is 2p þ q. I generalize this result to SUðNÞ, with N > 3. I also calculate the minimal total number of quarks/antiquarks/gluons that, bound to a new particle in the ðp; qÞ representation, gives a color-singlet state, or, equivalently, the smallest-dimensional gauge-invariant operator that includes quark/antiquark/gluon fields and the new strongly interacting matter field. Finally, I list all possible values of the electric charge of the smallest hadrons containing the new exotic particles and discuss constraints from asymptotic freedom both for QCD and for grand unification embeddings thereof.

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Section: The Minimal Direct Product Of Fundamental Representationmentioning

confidence: 99%

SmallestSU(N)hadrons

Profumo

2020

Phys. Rev. D

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“…The determination in both Equation (14) and Equation (16) is first translated into a NUG problem (see Section 4.1). Then, by making use of representation theory[52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 17, 18, 63] (see Section 4.2 for a brief overview), the NUG problem is relaxed into a semi-positive definite programming (SDP) problem[64, 65] (see Section 4.3 and Section 4.4), which can be solved by a convex optimization technique[64, 13]. However, the solution of the SDP problem is a “relaxation” of the NUG problem.…”

Section: Nug and The Determination Of Representativesmentioning

confidence: 99%

“…However, it is often difficult to optimize over a finite group. Proposed by Singer and Lederman[17, 18], such problems can be converted into optimizations over matrices using representation theory[52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]. Representation theory provides a general Fourier transform between a group and matrices, making such conversions possible.…”

Section: Nug and The Determination Of Representativesmentioning

confidence: 99%

Statistics of spatial rotations and projection directions considering molecular symmetry in 3D electron cryo-microscopy

Zhang

Lin

2020

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Electron cryo-microscopy (cryoEM) three-dimensional (3D) reconstruction is based on estimations of orientations of projection images or 3D volumes. It is common that the macromolecules studied by cryoEM have molecular symmetry. However, for neither spatial rotations nor projection directions, cur- rently there is no statistics and classification method which takes molecular symmetry into consideration. This limits the applications of advanced statistical methods in cryoEM. In this research, based on the concept of non-unique-games (NUG), we propose statistics and classification methods of both spatial rotations and projection directions when molecular symmetry is considered. Such methods are realized in the open-source python package pySymStat.

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“…Neste capítulo será definida a categoria de representações de umaálgebra de Hopf e será mostrado que para o Drinfeld Quantum Double sua categoria de representaçõesé uma categoria fusion esférica. Algumas referências para este assunto são [13], [14], [9], [7] e [16], porém muitos resultados foram baseados nas notas Modular Tensor Categories from Quantum Doubles of Finite Groups de Ulrich Pennig [19]. Primeiro precisamos de algumas definições e resultados sobre representações de grupos e deálgebras.…”

Section: Propriedadesunclassified

Categorias monoidais e álgebras de Hopf

Silva¹

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Agradeço primeiramenteà minha família, pois sem ela teria sido muito difícil me graduar em Física e realizar o mestrado. Agradeço ao professor Paulo Teotônio e aos colegas do grupo de pesquisa, Juan Pablo, Marzia Petrucci, Lucas e Rodrigo, com os quais pude ter várias discussões e também pelos seminários que demos uns aos outros. Agradeço aos meus colegas de sala no Departamento de Física Matemática, com os quais pude discutir sobre relatividade geral e conceitos relacionadoà teoria de cordas. Também aos colegas Gustavo, Jorge e Alisson, que iniciaram o mestrado no mesmo semestre que eu e têm me ajudado nesse período. Agradeço aos meus colegas Alberto e João Victor, que participaram dos meus primeiros seminários sobre categorias, o que foi muito importante no início deste mestrado, e têm me acompanhado no IME por alguns anos. Também agradeço ao Daniel Almeida por poder discutir sobre n-categorias e ao Sebastian que foi um bom parceiro em Topologiá Algebrica, além da boa companhia que ambos têm proporcionado. Também aos colegas Daniel Kawai e Douglas, em especial o Kawai por ter me esclarecido a definição de produto tensorial de bimódulos. Também agradeço a cada professor que tive durante este mestrado, em especialà Lucília Borsari, com quem aprendi grande parte do que sei de Topologia Algébrica, ao professor Ivan Shestakov que me ensinou Teoria de Categorias e ao professor Hugo Mariano por ser um professor bastante receptivo. Agradeço a cada membro da banca por terem aceitado participar da defesa de mestrado e pelos comentários críticos feitos. Também agradeçoà Secretaria do Departamento de Física Matemática eà Seção de Pós-Graduação do IF pelo apoio dado. Especialmente agradeço ao professor Alexis Virelizier por ter respondido a um email que o enviei tratando de algumas de minhas dúvidas. Por fim, agradeço ao CNPq pela bolsa de mestrado concedida e que me permitiu realizar este trabalho. Vale lembrar a importância desta agência para manter a pós-graduação no Brasil. "Tudo quanto te vierà mão para fazer, faze-o conforme as tuas forças, porque na sepultura, para onde tu vais, não há obra nem projeto, nem conhecimento, nem sabedoria alguma." (Eclesiastes 9:10)

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