Interpolation of Sobolev spaces, Littlewood-Paley inequalities and Riesz transforms on graphs

Abstract

Abstract. Let Γ be a graph endowed with a reversible Markov kernel p, and P the associated operator, defined by P f (x) = y p(x, y)f (y). Denote by ∇ the discrete gradient. We give necessary and/or sufficient conditions on Γ in order to compare ∇f p and (I − P ) 1/2 f p uniformly in f for 1 < p < +∞. These conditions are different for p < 2 and p > 2. The proofs rely on recent techniques developed to handle operators beyond the class of Calderón-Zygmund operators. For our purpose, we also prove Littlewood-Paley inequalities and interpolation results for Sobolev spaces in this context, which are of independent interest.

Racines Carrées d'OPÉRATEURS Elliptiques Et Espaces De Hardy

“…Dans [43], nous montrons que, sous les hypothèses (D), (P 2 ) et (∆(α)), pour tout q > 2, la condition (G q ) suffità entraîner (R p ) pour tout 2 < p < q:…”

“…On introduit une propriété quiéquivaut, dans ce cadre discret,à la continuité du projecteur de [43] en analyse numérique, que nous décrivons brièvement ici. Soit Ω un domaine polyédral de R n (n ≥ 2) et L = −div(A∇) un opérateur uniformément elliptique dans Ω sous forme divergence,à coefficients mesurables bornés, avec condition de Dirichlet sur ∂Ω (comme dans la section 3).…”

“…On peut en effet considérer les sommets de la triangulation comme les sommets d'un graphe dont les arêtes sont celles de la triangulation. Une différence essentielle entre cette situation et celle considérée dans [43] est que l'hypothèse (∆(α)), constamment faite dans [43] et la littérature afférente sur les graphes (qui traite le cas des marches aléatoires, [14,116]), qui signifie que les coefficients de l'opérateur elliptique avec lequel on travaille sont tous minorés par une constante strictement positive, n'est en général pas satisfaite pour L h dans la situation issue de l'analyse numérique qu'on vient de décrire. Même si L = −∆, on peut construire une triangulation telle que les coefficients de L h ne soient pas de signe constant.…”

“…Ajoutons que les résultats de [43] ontétéétendus dans [42] au cas des espaces L pà poids (dans le cas des poids de Muckenhoupt).…”

“…Qu'en est-il de la continuité L p de versions de la fonctionnelle g faisant intervenir le gradient spatial ∇? De telles fonctionnelles n'ont pasété considérées dans [43].…”