Interpolation, box splines, and lattice points in zonotopes

Abstract

Given a finite list of vectors $X \subseteq \mathbb{R}^d$, one can define the box spline $B_X$. Box splines are piecewise polynomial functions that are used in approximation theory. They are also interesting from a combinatorial point of view and many of their properties solely depend on the structure of the matroid defined by the list $X$. The support of the box spline is the zonotope $Z(X)$. We show that if the list $X$ is totally unimodular, any real-valued function defined on the set of lattice points in the interior of $Z(X)$ can be extended to a function on $Z(X)$ of the form $p(D)B_X$ in a unique way, where $p(D)$ is a differential operator that is contained in the so-called internal $\mathcal{P}$-space. This was conjectured by Olga Holtz and Amos Ron. We also point out connections between this interpolation problem and matroid theory, including a deletion-contraction decomposition. Etant donné une liste finie de vecteurs $X \subseteq \mathbb{R}^d$, on peut définir la box spline $B_X$. Les box splines sont des fonctions continues par morceaux qui sont utilisées en théorie de l’approximation. Elles sont aussi intéressantes d’un point de vue combinatoire et beaucoup de leurs propriétés dépendent uniquement de la structure du matroïde défini par la liste $X$. Le support de la box spline est le zonotope $Z(X)$. Si la liste $X$ est totalement unimodulaire, nous démontrons que toute fonction à valeurs réelles définie sur l’ensemble des points du réseau à l’intérieur de $Z(X)$ peut être étendue à une fonction sur $Z(X)$ de la forme $p(D)B_X$ de manière unique, où $p(D)$ est un opérateur différentiel qui est contenu dans l’espace appelé $\mathcal{P}$-interne. Cela a été conjecturé par Olga Holtz et Amos Ron. Nous indiquons aussi des relations entre ce problème d’interpolation et la théorie des matroïdes, en plus d’une décomposition suppressions-contractions.