Interplay of electronic correlations and topology in the Hubbard mode

Abstract

Um die Eigenschaften eines Materials zu beschreiben oder vorherzusagen ist es notwendig, die Elektronen in dem Material zu beschreiben. Das Verhalten der Elektronen wird mithilfe von Quantenmechanik beschrieben, was mathematisch durch das Lösen der Schrödingergleichung geschieht. Für idealisierte nicht-wechselwirkende Elektronen ist die Lösung der Schrödingergleichung gegeben durch eine Slater-Determinate der Einteilchenzustände. Wenn Wechselwirkungen jedoch stark werden und die Elektronen korreliert werden, dann bricht dieses einfache Bild zusammen. Unter dem Begriff elektronische Korrelation sind all jene Effekte zusammengefasst, die sich nicht mehr mit einer Slater-Determinante aus Einteilchenzuständen beschreiben lassen. Diese Effekte sind numerisch und analytisch schwierig zu beschreiben. Sie sind jedoch für einige interessante physikalische Phänomene in Materialien verantwortlich. Beispiele sind Supraleitung, Magnetismus, Mott-Isolatoren oder der fraktionale Quanten-Hall-Effekt. Viele dieser Zustände sind immer noch nicht gut theoretisch verstanden. Gerade deshalb sind elektronische Korrelation seit vielen Jahren ein aktives Forschungsfeld. Eine Art korrelierte Materialien zu beschreiben ist das Hubbard-Modell. Das Hubbard-Modell ist ein Gittermodell, in welchem die Elektronen von Gitterplatz zu Gitterplatz hüpfen können. Zwei Elektronen am selben Gitterplatz wechselwirken mit der sogenannten Hubbard-Wechselwirkung. Trotz seiner Einfachheit ist das Hubbard-Modell in der Praxis schwierig zu lösen. Eine Methode mit der man approximativ das Hubbard-Modell lösen kann, ist die Zweiteilchen Selbstkonsistenz Methode (englisch Two-Particle Self-Consistent approach, TPSC). Die Idee von TPSC ist, Spin- und Ladungs-Vertices, welche als lokal und konstant angenommenen werden, selbstkonsistent mit Hilfe von Summenregeln zu bestimmen. Anschleißend berechnet TPSC eine Selbstenergie aus den Ladungs- und Spin-Fluktuationen. Ein relativ junges Teilgebiet der Festkörperphysik ist das Teilgebiet der Topologie, welches sich mit der topologischen Klassifikation von Phasen und Materialien beschäftigt. Topologie ist ursprünglich ein Teilgebiet der Mathematik, das sich unter anderen mit invarianten Eigenschaften von Objekten unter stetigen Verformungen beschäftigt. Beispiele, in denen physikalische Observablen direkt mit einer topologischen Klassifizierung zusammenhängen, sind der Quanten-Hall-Effekt, elektrische Polarisation und der Quanten-Spin-Hall-Effekt. Ein physikalischer Effekt, der oft die Ursache dafür ist, dass ein Material topologisch nichttrivial ist, ist die Spin-Bahn-Kopplung. Die Spin-Bahn-Kopplung ist ein relativistischer Effekt, der in einem vereinfachten Bild daher kommt, dass im Ruhesystem eines Elektrons es so aussieht, als würde sich die Atomkerne bewegen. Das resultierende Magnetfeld der bewegten Atomkerne koppelt an das magnetische Moment des Elektrons und daher an den Spin des Elektrons. Diese Arbeit beschäftigt sich mit mehreren Teilaspekten, welche durch das Zusammenspiel von Spin-Bahn-Kopplung, Topologie und elektronischer Korrelation entstehen. In einem Teil der Arbeit wird untersucht wie sich das Konzept der elementaren Banddarstellungen (englisch elementary band representation, EBR) auf Greensche Funktionen anwenden lässt, um topologische Isolatoren mit Wechselwirkungen zu identifizieren. Dieses Konzept nutzt räumliche Symmetrien und die daraus resultierenden EBRs, um topologische Phasen zu identifizieren. Um EBRs für die Greensche Funktion zu definieren nutzen wir den sogenannten topologischen Hamiltonian, einen effektiven nichtwecheslwirkenden Hamiltonian der sich direkt aus der Greenschen Funktion ergibt. Wir finden, dass sich diese topologische Klassifizierung der Greenschen Funktion nur dann ändern kann, wenn sich die Lücke in der Spektralfunktion bei Frequenz null schließt, die Greensche Funktion einen Eigenwert mit dem Wert null bei Frequenz null besitzt oder die Greensche Funktionen eine der schützenden Symmetrien bricht. Eine genaue Korrespondenz zwischen der topologische Klassifizierung der Greenschen Funktion und dem Konzept der Symmetrie geschützte topologische (englisch symmetry protected topological, SPT) Phasen bleibt jedoch eine offene Frage.