Intégrales orbitales tordues sur GL(n, F) et corps locaux proches : applications

Abstract

RésuméSoient F un corps commutatif localement compact non archimédien, G = GL(n, F) pour un entier n ≥ 2, et κ un caractère de F× trivial sur (F×)n. On prouve une formule pour les κ-intégrales orbitales régulières sur G permettant, si F est de caractéristique > 0, de les relever à la caractéristique nulle. On en déduit deux résultats nouveaux en caractéristique à 0 : le “lemme fondamental” pour l’induction automorphe, et une version simple de la formule des traces tordue locale d’Arthur reliant κ-intégrales orbitales elliptiques et caractères κ-tordus. Cette formule donne en particulier, pour une série κ-discrète de G, les κ-intégrales orbitales elliptiques d’un pseudo-coefficient comme valeurs du caractère κ-tordu.

Sur le dual unitaire de GL r ( D )

“…H, P ) obtenu en remplaçant D par D , une construction analogue fournit, pourvu que m soit assez grand, un isomorphisme d'algèbres ζ m,l M,M et uneéquivalence de catégories ζ m,l M,M . Si D estégaleà F , on sait d'après [19] que ceséquivalences de catégories commutentà l'induction parabolique normalisée, c'est-à-dire qu'on a :…”

Pseudo-coefficients des séries κ-discrètes de GL(n, F)

“…Pour F de caractéristique nulle, l'existence et la surjectivité sontétablies dans [HH] : l'existence est obtenue par voie globale, par comparaison d'une formule des traces pour H et d'une formule des traces tordues pour G, grâce au lemme fondamental prouvé par Waldspurger aux "bonnes" places finies, c'est-à-dire celles pour lesquelles la caractéristique résiduelle ne divise pas n. Quantà la surjectivité, elle est obtenue par une méthode locale, en appliquant au groupe SL(n, F ) les résultats d'Arthur sur les caractères tempérés virtuels [A]. Pour F de caractéristique quelconque (et de caractéristique résiduelle quelconque), le lemme fondamental est montré dans [HL1,HL2]. Par voie globale, grâceà l'existence de pseudo-coefficients pour les caractères des séries discrètes de H età celle de pseudo-coefficients pour les caractères tordus des séries κ-discrètes de G, on peut donc non seulement prouver comme dans [HH] que toute série discrète de H se relève, mais aussi que toute série κ-discrète de G est un relèvement -la rédaction de tout cela apparaîtra dans un article ultérieur.…”

“…0.4. Les résultats démontrés ici font partie d'un travail commun [HL1,HL2,HL3,etc. ] visantàétendreà la caractéristique non nulle les théories du changement de base et de l'induction automorphe pour GL(n, F ), connues si F est de caractéristique nulle.…”

Intégrabilité locale des caractères de SLn(D)

“…ci-dessous) permet de traiter les caractères tordus κ π = trace(π dg • A κ π ) des représentations complexes lisses irréductibles κ-stables π de G ; où A κ π désigne un opérateur d'entrelacement non nul entre π ⊗ (κ • det ) et π , et dg une mesure de Haar sur G. On montre en particulier que ces caractères tordus sont des distributions localement intégrables sur G, localement constantes sur G r . Pour F de caractéristique > 0 et D = F, ce résultat a des applications importantes dans la théorie de l'induction automorphe : il permet par exemple, grâce au "lemme fondamental" [Henniart et Lemaire 2004b] et à l'existence de pseudo-coefficients pour le caractère tordu d'une série κ-discrète de G [Henniart et Lemaire 2004a], de prouver par voie globale la surjectivité de l'application induction automorphe sans devoir utiliser les résultats d'Arthur -connus seulement en caractéristique nullesur les caractères tempérés virtuels (voir [Henniart et Herb 1995]) ; la rédaction de tout cela apparaîtra dans un article ultérieur.…”