Initialization, Conceptualization, and Application in the Generalized (Fractional) Calculus

Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T.

doi:10.1615/critrevbiomedeng.v35.i6.10

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“…Lorenzo & Hartley [12,13] raised the question about initialization of fractional derivatives. Their motivation was to use or recover the information about the process y(t) in the interval (0, a), if we consider fractional derivatives of y(t) in (a, b).…”

Section: Methods Of 'Large Steps' and The Problem Of Initialization Ofmentioning

confidence: 99%

Matrix approach to discrete fractional calculus III: non-equidistant grids, variable step length and distributed orders

Podlubný

Škovránek

Vinagre

et al. 2013

Phil. Trans. R. Soc. A.

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In this paper, we further develop Podlubny's matrix approach to discretization of integrals and derivatives of non-integer order. Numerical integration and differentiation on non-equidistant grids is introduced and illustrated by several examples of numerical solution of differential equations with fractional derivatives of constant orders and with distributedorder derivatives. In this paper, for the first time, we present a variable-step-length approach that we call 'the method of large steps', because it is applied in combination with the matrix approach for each 'large step'. This new method is also illustrated by an easyto-follow example. The presented approach allows fractional-order and distributed-order differentiation and integration of non-uniformly sampled signals, and opens the way to development of variable-and adaptive-step-length techniques for fractional-and distributed-order differential equations.

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Section: Methods Of 'Large Steps' and The Problem Of Initialization Ofmentioning

confidence: 99%

Matrix approach to discrete fractional calculus III: non-equidistant grids, variable step length and distributed orders

Podlubný

Škovránek

Vinagre

et al. 2013

Phil. Trans. R. Soc. A.

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“…Deve ser mencionado que, alguns autores acreditam que o aparente paradoxo, mencionado por Leibniz em sua carta endereçada a 'Hôpital, seria devido ao fato de a derivada fracionária poder ser escrita como uma série, tal qual na definição conforme proposta por Grünwald-Letnikov [5]. Em particular, LorenzoHartley [27], utilizaram esta definição para propor, numericamente, uma interpretação geométrica para a derivada de ordem arbitrária. Podlubny [67] usou a definição de Grünwald-Letnikov e suas variações para propor uma interpretação física para a derivada fracionária, considerado, ainda hoje, um problema em aberto [68].…”

Section: Derivada Fracionáriaunclassified

“…Alguns artigos merecem destaque, dentre eles: Mainardi [24] nas aplicaçõesà mecânica; Gorenflo [25], devotado aos métodos numéricos; Carpinteri e Mainardi, reúnem uma série de artigos de pesquisa envolvendo o cálculo de ordem arbitrária e suas aplicações, e editam o livro [26]; Lorenzo e Hartley [27], aproveitando-se da falta de uma interpretação geométrica evidente para a derivada fracionária, propuseram uma interpretação para a definição de derivada segundo Grünwald-Letinikov e Tenreiro Machado [28] propôs uma outra interpretação, agora do ponto de vista de probabilidades.…”

Section: Introductionunclassified

Sobre derivadas fracionárias

Teodoro

Oliveira

2017

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Apresentamos as várias maneiras de definir uma derivada fracionária, na forma de uma introdução histórica ao cálculo fracionário. Partindo do conceito de derivada fracionária, queé uma generalização da integral de Cauchy, abordamos as derivadas fracionárias nos sentidos de Riemann-Liouville e Caputo. Discutimos propostas recentes de novas derivadas fracionárias que, por meio de um processo de limite adequado, recuperam ambas as formulações de Riemann-Liouville e Caputo. Também discutimos outras formulações em que o núcleo da integraĺ e não singular. Com base em um critério recente, justificamos por que tais derivadas podem ser consideradas derivadas fracionárias autênticas. Também apresentamos algumas aplicações de cunho estritamente matemático, junto com uma aplicação a um problema físico específico. Palavras-chave: Derivada fracionária, cálculo de ordem não inteira, derivada de Riemann-Liouville, Derivada de Caputo, Circuito RL.We present the several ways one can define a fractional derivative, in the form of a historical introduction to fractional calculus. Starting with the concept of fractional derivative, which is a generalization of the Cauchy integral, we approach the fractional derivatives in the senses of Riemann-Liouville and Caputo. We discuss recent proposals of new fractional derivatives which, through an adequate limiting process, recover both the Riemann-Liouville and the Caputo formulations. We also discuss other formulations in which the kernel of the integral is nonsingular. On the basis of a recent criterion, we justify why such derivatives can be considered authentic fractional derivatives. We also present some applications of strictly mathematical nature, together with an application to a specific physical problem. Keywords: Fractional derivates, Non-integer order calculus, Riemann-Liouville derivative, Caputo derivative, Circuit RL. IntroduçãoCálculo de ordem inteira ou simplesmente cálculoé um ramo da matemática cujo objetivoé o estudo dos fenômenos que envolvem movimento e variação, que estão associados aos conceitos deárea (integral) e tangente (derivada). O teorema fundamental do cálculo coloca em pé de igualdade estes dois conceitos.O cálculo integral, remontaà antiga Grécia, quando Arquimedes, desenvolveu e aplicou o método da exaustão para solucionar o problema da determinação deáreas. No século XVII, este ramo recebeu maior impulso, quando Newton e Leibniz, independentemente um do outro, algebrizam o método da exaustão, o qual passou, gradualmente, a ser chamado como hojeé conhecido; cálculo integral uma nova ferramenta para resolver não só problemas geométricos associadosàárea, mas também de grande aplicabilidade em outras ciências. O cálculo diferencial, contrariamente ao cálculo integral, desenvolveu-se muito mais tarde na história da Matemática. O conceito não tinha ainda sido formulado até início do século XVII, quando Fermat procurou obter os máximos e mínimos de certas funções. Leibniz, na segunda metade do século XVII, algebriza esse problema apresentando os conceitos de va...

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“…Therefore, researchers have mainly preferred to adopt frequency based methods, but we can mention several studies addressing the RL in the scope of fractional systems [20][21][22][23]. More recently the RL was considered for the stability analysis of fractional systems by tacking advantage of commensurable expressions that occur when truncating real valued integrodifferential orders up to a finite precision [24].…”

Section: Root Locus Of Fractional Systemsmentioning

confidence: 99%