Influence of stability islands in the recurrence of particles in a static oval billiard with holes

Abstract

Statistical properties for the recurrence of particles in an oval billiard with a hole in the boundary are discussed. The hole is allowed to move in the boundary under two different types of motion: (i) counterclockwise periodic circulation with a fixed step length and; (ii) random movement around the boundary. After injecting an ensemble of particles through the hole we show that the surviving probability of the particles without recurring -without escaping -from the billiard is described by an exponential law and that the slope of the decay is proportional to the relative size of the hole. Since the phase space of the system exhibits islands of stability we show that there are preferred regions of escaping in the polar angle, hence given a partial answer to an open problem: Where to place a hole in order to maximize or minimize a suitable defined measure of escaping. PACS numbers: 05.45.-a, 05.45.Pq, 05.45.Tp

Statistical properties for an open oval billiard: An investigation of the escaping basins

“…In this paper we study some escaping properties for an ensemble of particles in the static oval billiard and our main goal is to understand the relation between the position of the hole in the billiard boundary and the region where the particles are injected, hence searching for a condition to maximize or minimize the escape through the hole. It is known there are preferential regions in the phase space since the density is not constant [24] and we are interested to know what are the requirements to obtain an optimization or non optimization for the escape. We then introduce a hole in the billiard boundary and studied the survival probability of particles in different positions of the hole and the region of injection of particles.…”

Rotating leaks in the stadium billiard

“…17 However, it appears that there is only one previous work on a billiard with a moving leak. 18 In this work by Hansen et al, each particle was simulated separately and the leak location changed if the particle escaped or after 5 collisions with the boundary. Thus, the leak dynamics were dependent on the particle dynamics and were different for each particle trajectory.…”

Propriedades Estatísticas e Termodinâmicas de Bilhares Clássicos

“…Fazendo a conexão entre essas figurasé possível verificar que, nas regiões de baixo escape as densidades ρ α e ρ θ estão diretamente ligadas asáreas do espaço de fases compostas por ilhas de estabilidade, enquanto que o alto escape está ligado a regiões quase que totalmente predominadas pelo mar de caos. Esse resultado se revela um tanto quanto interessante e importante, pois a partir dele fica indicado a existência de regiões preferenciais para a visitação de partículas no bilhar ovóide, fato que consequentemente pode servir como um guia na busca da especificação de onde posicionar um buraco, de modo a produzir uma maximização ou minimização do escape de partículas [35,36].…”

“…Esse tipo de estrutura pode ser verificado no bilhar estádio de Bunimovich [5] e também no gás de Lorentz [31]. Porúltimo, o caso (iii) corresponde a maioria dos sistemas dinâmicos [32][33][34][35], ondeé possível verificar a coexistência de um mar de caos, cadeia de ilhas de estabilidade e um conjunto curvas invariantes do tipo spanning ao longo do espaço de fase. Com base nessas informações gerais, nesta tese, vamos estudar o modelo do bilhar ovóide clássico, cuja estrutura do seu espaço de fasesé do tipo mista, em duas versões totalmente distintas.…”

“…Através de simulações numéricas, observamos que a probabilidade de sobrevivência P (n) (probabilidade de permanecer no interior do bilhar) para um conjunto de partículas não-interagentes, decai ao longo das colisões em média de forma exponencial. Contudo, devido a característica mista do espaço de fases do bilhar ovóide, observamos que existem regiões no bilhar que exibem uma maior frequência de visitação por parte das partículas [35]. Esse resultado acaba sendo interessante, pois surge como uma alternativa para uma possível solução de um problema em aberto na literatura, envolvendo a especificação de onde introduzir ou posicionar um orifício na fronteira, afim de otimizar o escape de partículas [36].…”