Inégalités isopérimétriques et applications

Abstract

Inégalités isopérimétriques et applications Annales scientifiques de l'É.N.S. 4 e série, tome 15, n o 3 (1982), p. 513-541 <http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1982_4_15_3_513_0> © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1982, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Critical sets of random smooth functions on compact manifolds

“…We denote by D u the set of connected components of the complement of the nodal set are called the nodal domains of u and we denote δ(u) the cardinality of D u . A result of Pleijel and Peetre, [6,36,39], shows that…”

Constantes explicites pour les inégalités de Sobolev sur les variétés riemanniennes compactes

“…r^rr da~} -J, [Ld"' (où da est la mesure induite sur f~l(s) par g; pour plus de détails voir [2] et [4]). Donc :…”

Eigenvalue pinching on convex domains in space forms

“…By assumption, the set Reg(f ) of regular points of f included in {x ∈ Ω |f > 0} is an open set of full measure in {x ∈ Ω |f > 0}. As a consequence, we deduce that f * is continuously differentiable on an open set of full measure of {f * > 0} and satisfies the inequality (4.3) thanks to the coarea formula and the isoperimetric inequality (we refer to [6] for more details). We conclude that {f > 0} is a ball, using a decreasing sequence of regular values which goes to 0 and the case of equality in the isoperimetric inequality.…”

“…The set of functions which satisfy the assumptions of Lemma 4.4 contains the smooth functions with compact support and only nondegenerate critical points; therefore it is dense in H 1 0 (Ω) (see [6] and the references herein). 4.2.…”