Hypoelliptic heat kernel inequalities on the Heisenberg group

Abstract

We study the existence of "L p -type" gradient estimates for the heat kernel of the natural hypoelliptic "Laplacian" on the real three-dimensional Heisenberg Lie group. Using Malliavin calculus methods, we verify that these estimates hold in the case p > 1. The gradient estimate for p = 2 implies a corresponding Poincaré inequality for the heat kernel. The gradient estimate for p = 1 is still open; if proved, this estimate would imply a logarithmic Sobolev inequality for the heat kernel.

On gradient bounds for the heat kernel on the Heisenberg group

“…Despite this singularity, B. Driver and T. Melcher proved in [16] the existence of a finite positive constant C 2 such that…”

Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le groupe de Heisenberg

“…Par l'invariance à gauche de ∇ et de p h ainsi que la dilatation sur H 1 , on remarque que pour montrer le Théorème 1.1, il suffit de montrer qu'il existe une constante C > 1 telle que (voir aussi Lemma 2.3 et Proposition 2.6 de [9] pour l'explication détaillée) :…”

“…Dans [9], Driver et Melcher ont étudié les estimations de type (1.2) dans le cadre du groupe de Heisenberg de dimension réelle 3, H 1 , qui peut être considéré comme une variété munie d'un Laplacien dégénéré.…”

“…Le but de cet article est de donner une réponse positive à la question ouverte de [9]. Autrement dit, on a :…”

Linear and Nonlinear Dissipative Dynamics

“…[16]) or certain smoothing properties of the semigroup (see e.g. [5], [17], [36], [6], [27] and references therein). Even in the case of diffusion operators in finite dimensions it is a hard problem for which a relatively satisfactory solution currently only exists in case of (products of) Heisenberg type groups; for q = 1 2 the other groups constitute a formidable challenge.…”