Hypocoercivity for kinetic equations with linear relaxation terms

Abstract

This Note is devoted to a simple method for proving the hypocoercivity associated to a kinetic equation involving a linear time relaxation operator. It is based on the construction of an adapted Lyapunov functional satisfying a Gronwall-type inequality. The method clearly distinguishes the coercivity at microscopic level, which directly arises from the properties of the relaxation operator, and a spectral gap inequality at the macroscopic level for the spatial density, which is connected to the diffusion limit. It improves on previously known results. Our approach is illustrated by the linear BGK model and a relaxation operator which corresponds at macroscopic level to the linearized fast diffusion. To cite this article: J. Dolbeault et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). RésuméHypocoercivité pour des équations cinétiques avec termes de relaxation linéaires. Cette Note est consacrée à une méthode simple pour démontrer l'hypocoercivité associée à une équation cinétique contenant un opérateur de relaxation linéaire ; il s'agit de construire une fonctionnelle de Lyapunov adaptée vérifiant une inégalité de type Gronwall. La méthode distingue clairement la coercivité au niveau microscopique, qui provient directement des propriétés de l'opérateur de relaxation, et une inégalité de trou spectral pour la densité spatiale, qui est reliée à la limite de diffusion. Elle améliore les résultats antérieurs. Notre approche est illustrée par le modèle de BGK linéaire et par un opérateur de relaxation qui correspond, au niveau macroscopique, à la diffusion rapide linéarisée. Pour citer cet article : J. Dolbeault et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).Le but de la théorie de l'hypocoercivité [10,11,8] est d'estimer des taux exponentiels de retour à un équilibre global pour des équations cinétiques dans lesquelles le terme de collision ne contrôle que le retour à un équilibre local. Nous simplifions les résultats antérieurs, [6,11,5], en distinguant l'échelle microscopique et l'échelle macroscopique, pour laquelle une propriété de trou spectral fait le lien avec les limites de diffusion, [1,2].Considérons l'équation (1) sur R d , d 1 où T := v ·∇ x −∇ x V ·∇ v , V est un potentiel extérieur et où l'opérateur de relaxation linéaire L est défini par (2). La fonction F est une mesure de probabilité strictement positive ne dépendant que de |v| 2 /2 + V (x) et on notera dμ(x, v) = F (x, v) −1 dx dv. Norme et produit scalaire sont par défaut ceux de L 2 (dμ). La donnée initiale f 0 ∈ L 2 (dμ) est normalisée par R d ×R d f 0 dx dv = 1. Théorème 1 (équilibre Maxwellien). Supposons que, alors pour tout η > 0, il existe une constante positive λ = λ(η), explicite, pour laquelle toute solution de (1) dans L 2 (dμ) vérifie :Dans le deuxième cas, on supposera que F (x, v) := ω( 1 2 |v| 2 + V (x)) −(k+1) , V (x) = (1 + |x| 2 ) β pour simplifier. Voir [3] pour des cas plus généraux. Ici, ρ F = ω 0 V d/2−k−1 , ω et ω 0 sont des constantes de normalisation.Théorème 2. Soit d 1, k > d/2 + 1. Il existe une constante β 0 > 1 tell...

Hypocoercivity for linear kinetic equations conserving mass

“…This is the linear BGK case, which has been considered in [12]. L = Π − 1 with Π f = ρ f M, gives σ = γ = 1.…”

Hypocoercivity of linear degenerately dissipative kinetic equations

“…Recently, some general theory on hypocoercivity was provided in [23,5,28]. By constructing some proper Lyapunov functional defined over the Hilbert space, Mouhot-Neumann [23] obtained the exponential rates of convergence in H 1 -norm for some kinetic models with general structures in the case of torus.…”

“…By constructing some proper Lyapunov functional defined over the Hilbert space, Mouhot-Neumann [23] obtained the exponential rates of convergence in H 1 -norm for some kinetic models with general structures in the case of torus. An extension of [23] to models in the presence of a confining potential force was given by Dolbeault-Mouhot-Schmeiser [5], where L 2 -norm was considered. Villani [28] also gave a systematic study of the Hypocoercivity theory.…”

Optimal Estimate of the Spectral Gap for the Degenerate Goldstein-Taylor Model

“…This allows indeed a local control of the dissipative properties of the equation, and hence the solution is locally "attracted" everywhere toward its local equilibrium (see, for instance, [11,7,5,16]). …”