Harmonische Involutionen und Kreisspiegelungen in Möbiusebenen

Abstract

An involutory automorphism of an inversive plane whose set of fixed points consists of exactly two points resp. of a circle is called a harmonic involution resp. an inversion. In this paper we study inversive planes with sufficiently many such involutions. (2000): 51B10. Mathematics Subject ClassifikationEine Möbiusebene M := (P, K, ∈) mit der Punktmenge P und der Kreismenge K ist eine Inzidenzstruktur, in der für alle P ∈ P die Ableitung A P :affine Ebene ist. Ihre in H gesammelten Automorphismen der Ordnung 2 mit genau 2 Fixpunkten heißen harmonische Involutionen. Für verschiedene Punkte P, Q sei H P↔Q := {σ ∈ H | σ(P) = Q}. In [3] haben wir Modelle von Möbiusebenen angegeben, für die folgende Eigenschaften gelten: (i) Zu je zwei verschiedenen Punkten P, Q existiert ein σ ∈ H mit Fix σ = {P, Q} und im Erzeugnis < H > habe nur die Identität vier Fixpunkte. (ii) Für verschiedene Punkte P, Q bestehe H 3 P↔Q aus Elementen der Ordnung 2 (iii) Die Translationsgruppe der Translationsebene A P sei ein endlich-dimensionaler Linksvektorraumüber ihrem Kern. 1. Algebraische Beschreibung dieser Möbiusebenen Die von H P := {σ ∈ H | σ(P) = P} erzeugte Gruppe operiert transitiv auf P \ {P}, daher operiert < H > zweifach transitiv auf P. Nach [3], Satz 1 gilt: Für drei verschiedene Punkte 0, 1, ∞ ∈ P ist die Menge K := P \ {∞} ein Körper der Charakteristik = 2 und die Gruppe < H > wird als Permutationsgruppe zur Gruppe PS − L(2, K) isomorph, wobei S − L(2, K) die Gruppe der linearen Bijektionen von K 2 auf sich mit der Determinante ±1 ist. PS − L(2, K) bezeichne ihre Wirkung auf der projektiven Geraden P(K 2 ) ∼ = P. Die Automorphismengruppe Aut M liegt zwischen < H >= 150