Harmonische geodätische p‐Formen in nichteuklidischen Räumen

Abstract

I n einem auf die Koordinaten 51, . . . , 5" bezogenen RIEMANNschen Raum V , der Dimension n und der Klasse C" (mit positiv definiter Metrik) bezeichne s ( 2 , y) den geodatischen Abstand zweier (hinreichend nahe Feieinander gelegener) Punkte x und y mit den Koordinaten E" = xi kzw. @ = yi. Aus s ( x , y) lassen sich die folgenden Doppeldifferentialformen bilden :axi ayf undfiir 2 5 p g n :Hierbei und im folgenden sind alle auf die Variablen yi und die zugehorigen Differentiale dyi bezuglichen Zeichen mit . . versehenl). Diese Doppelformen up und Bp sind offensichtlich fur 1 5 p 5 n -1 linear unabhangig (uber dem Ring der skalaren Funktionen in V,). Unter einer geodatischen p-Formz) verstehen wir einen Ausdruck der Gestalt mp = a (8) up + b (8) B, mit Funktionen a (s), b (s), die fur s =fi 0 von der Klasse C" sind. Die vorliegende Note befafit sich mit solchen geodatischen Formen in einem V , der konstanten Krummungs) K . Diese Klasse RIEMANNsCher Raume kann dadurch charakterisiert werden, da13 nur in ihnen das Duale einer geodatischen Form stets wieder eine geodatische Form ist. Dies wird I) I m iibrigen schliefien wir uns an die Bezeichnungsweise von DE RHAM [3] an. 2) Der Ausdruck , ,geodatisohe Losung" einer linearen partiellen Differentialgleichung weiter Ordnung stammt von DUFF [I]. Es ist darunter eine solche Losung zu verstehen, die nur vom geodatischen Abstand beziiglich der zur Differentialgleichung gehorenden R'IEMANNmetrik abhangt. Wir iibertragen diesen Begriff sinngemao auf p-Formen.20'

Harmonic Differential Operators

“…With the calculus developed in [7,8,2] one can show that L\_o p + τ ρ ] = (σ ρ -h τ ρ )/ + + (η -2p) (σ ρ -τ ρ )/_, where/ + ,/_ are some even radial functions whose explicit expressions do not matter here. It is known that σ ρ φ τ ρ ,/_ φ Ο, hence the second term vanishes iff n -2p.…”

“…Proof. R G nther [7,8] introduced the so-called geodesic (two-point) forms σ ρ = a p (x,y), τ ρ = τ ρ (χ,γ) on a non-Euclidean space by the recursion ffl -.= k~l unkrd x d y r for K=> fc 2 >0, σι := h~l sinhkrd x d y r for K=-. -k 2 < 0, TI '-=d x rd y r, ρσ ρ :=σ ρ _!…”

A Lattice Problem for Differential Forms in Euclidean Spaces

“…introduced by P. GUNTHER [5] for spaces of constant curvature K + 0. , A'hall denote that d, A refer to the second variable y. As shown by P. ,GtNTHER [6,7], there is a geometric interpretation for these double differential forms:…”

“…Our approach essentially uses kernels, of mean value operators for-differential forms which are defined by means of double differential forms a; r introduced by , P: GUNTHER [5]. The fact that the forms a, -r are intimately related with the constl-uetion of the components of p-forms and their parallel displacement makes them • -well-suited.…”

Harmonische geodätische Formen und harmonische Räume

“…B. [l], [2], [7]) wurde anstelle von A@), B(p) mit d p ) , p ( p ) gearbeitet, anstelle von P ) mit y ( l ) bzw. n(1) ([2] bzw.…”