Graded contractions of Lie algebras and central extensions*

Abstract

We use the concept of grading of Lie algebras to investigate the appearance of central charges during the contraction process. As for the usual graded contractions, one finds simultaneously the central extensions of classes of algebras, rather than specific Lie algebras. To illustrate the method, we consider in detail two physical applications: the kinematical algebras of spacetime, and the graded contractions that occur in the general formalism of vector coherent state (VCS) representations of a Lie algebra. Résumé Nous utilisons l'idée de graduation d'une algèbre de Lie pourétudier comment apparaissent les charges centrales durant une contraction. Comme pour les contractions graduées habituelles, on trouve simultanément les extensions de classes d'algèbres plutôt que d'algèbres spécifiques. Afin d'illustrer notre méthode, nous considérons en détail deux applications physiques : les algèbres cinématiques et les contractions graduées qui apparaissent dans le formalisme desétats cohérents vectoriels d'une algèbre de Lie.