Global Optimization for Imprecise Problems

Abstract

Abstract.A new method for the computation of the global minimum of a continuously differentiable real-valued function f of n variables is presented. This method, which is composed of two parts, is based on the combinatorial topology concept of the degree of a mapping associated with an oriented polyhedron. In the first part, interval arithmetic is implemented for a "rough" isolation of all the stationary points of f . In the second part, the isolated stationary points are characterized as minima, maxima or saddle points and the global minimum is determined among the minima. The described algorithm can be successfully applied to problems with imprecise function and gradient values. The algorithm has been implemented and tested. It is primarily useful for small dimensions (n ≤ 10).

Improved Newton’s method without direct function evaluations

“…In addition, there exist problems, e.g. the neural network training problem [10,11,25], where it is necessary to develop and use methods that does not need precise values. So, it is crucial to develop methods, which are free of function and derivative evaluations, or to find techniques that overcome the imprecise nature of these problems.…”

“…when the function and derivative values depend on the results of numerical simulations [9,25] or the precision of the desired function is available at a prohibitive cost. The last case stands for the problems where the function value results from the sum of an infinite series (e.g.…”

Νεες Αριθμητικες Μεθοδοι Για Τη Βελτιστοποιηση Συναρτησεων Και Την Επιλυση Υπερβατικων Συστηματων

“…Αυτή η κλάση των μεθόδων βασίζεται σε μια μετατροπή της μονοδιάστατης μεθόδου διχοτόμησης και ουσιαστικά χρειάζεται μόνο τα πρόσημα των τιμών της συνάρτησης και των μερικών της παραγώγων. Έτσι μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα όπου οι τιμές της συνάρτησης δεν μπορούν να αποκτηθούν με κάποια σχετική ακρίβεια [137,141,144,184,232,233,9 ΚΕΦΑΛΑΙΟΙ. ΕΙΣ ΑΓΩΓΙ 236].…”

“…Σε αυτήν την περίπτωση η παράμετρος η μπορεί να υπολογιστεί έτσι ώστε το σημείο x k+1 στο Βήμα 9 του αλγορίθμου να , μια εκτίμηση της παραμέτρου ζ στο Βήμα 12 του αλγορίθμου μπορεί να δοθεί χρη σιμοποιώντας την i-οστή συντεταγμένη της κλίσης στα σημεία x k και x k+1 και ελαχιστοποιώντας την μονοδιάστατη τετραγωνική συνάρτηση που δημιουργείται από αυτά. Σε αυτήν την περίπτωση μια εκτίμηση της παραμέτρου ζ μπορεί να δοθεί έτσι ώστε το σημείο x k+1 στο Βήμα 12 του αλγορίθμου να δίνεται από την παρακάτω σχέση[232,233].Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση F = (f u ... ,/ η ) : V C HT -)•IR" ε/να« συνεπώς παραγωγίσιμη σε μια ανοικτή περιοχή S 0 C V του σημείου x* G V για τοΟι αλγόριθμοι που περιγράφηκαν στις ενότητες 3.3 και 3.4 υλοποιήθηκαν στα προγράμματα FOR TRAN με τα ονόματα OPTBIS και OPTJAC αντίστοιχα και δοκιμάστηκαν σε πολλά προβλήματα ελαχιστοποίησης διαφόρων διαστάσεων. Οι αλγόριθμοι συμπεριφέρονται αξιόπιστα και τα αποτε λέσματα τους ήταν ιδιαίτερα ικανοποιητικά.…”