Geometric dimension of lattices in classical simple Lie groups

Aramayona, Javier; Degrijse, Dieter; Martı́nez-Pérez, Conchita; Souto, Juan

doi:10.1112/topo.12016

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“…For instance in [10] Degrijse and Martinez-Perez prove that this is the case for a large class of groups containing all finitely generated Coxeter groups. Other examples for equality can be found in [1], [2], [25] and [33].…”

Section: Introductionmentioning

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“…Then Isom(S) = Aut(g) = Aut(G) where g is the Lie algebra of G, and note that this group is semisimple, linear and algebraic but may be not connected. In [1] the authors prove Theorem 1.1 for lattices in classical simple Lie groups G. We will heavily rely on their results and techniques.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…In the light of this theorem it suffices to prove that the two cohomological notions of dimension vcd(Γ) and cd(Γ) coincide. In [1] the authors noted that to prove the equality vcd(Γ) = cd(Γ) it suffices to ensure that the fixed point sets S α of finite order elements α ∈ Γ are of small dimension -see Section 2.8 for details. Still in [1] the authors checked that this was the case for lattices contained in the classical simple Lie groups.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Dimension rigidity of lattices in semisimple Lie groups

Lacoste

2018

Groups Geom. Dyn.

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Section: Introductionmentioning

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Section: Introductionmentioning

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Section: Introductionmentioning

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Dimension rigidity of lattices in semisimple Lie groups

Lacoste

2018

Groups Geom. Dyn.

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“…, 5}. Recall that the conjugacy class of the 5-cycle (1,2,3,4,5) in A 5 contains 12 elements, and that each element x of order 5 in A 5 is conjugate to x 4 but not to x 2 and x 3 . Therefore, the conjugacy class of (1, 2, 3, 4, 5) is of the form {x 1 , x −1 1 , x 2 , x −1 2 , .…”

Section: An Examplementioning

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Stable finiteness properties of infinite discrete groups

Bárcenas

Degrijse

Patchkoria

2017

Journal of Topology

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Abstract. Let G be an infinite discrete group. A classifying space for proper actions of G is a proper G-CW-complex X such that the fixed point sets X H are contractible for all finite subgroups H of G. In this paper we consider the stable analogue of the classifying space for proper actions in the category of proper G-spectra and study its finiteness properties. We investigate when G admits a stable classifying space for proper actions that is finite or of finite type and relate these conditions to the compactness of the sphere spectrum in the homotopy category of proper G-spectra and to classical finiteness properties of the Weyl groups of finite subgroups of G. Finally, if the group G is virtually torsion-free we also show that the smallest possible dimension of a stable classifying space for proper actions coincides with the virtual cohomological dimension of G, thus providing the first geometric interpretation of the virtual cohomological dimension of a group.

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“…Recall that in general, if Γ ⊂ G is not cocompact, one can always construct a cocompact model for EΓ of codimension 1 in G/K, see Proposition 2.6 in[1].…”

mentioning

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On the difficulty of finding spines

Lacoste

2018

Comptes Rendus. Mathématique

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We prove that the set of symplectic lattices in the Siegel space h g whose systoles generate a subspace of dimension at least 3 in R 2g does not contain any Sp(2g, Z)-equivariant deformation retract of h g . Résumé.Nous montrons que l'ensemble des réseaux symplectiques dans l'espace de Siegel h g dont les systoles engendrent un sous-espace de dimension au moins 3 dans R 2g ne contient aucun rétract par déformation Sp(2g, Z)-équivariant de h g .Version française abrégée. Soit Γ un groupe discret infini. On dit qu'un Γ-complexe cellulaire W est un modèle de type EΓ si pour tout sous-groupe H ⊂ Γ, l'ensemble de points fixes W H est contractile si H est fini et vide sinon. La plus petite dimension possible d'un tel espace est la dimension géométrique propre de Γ, notée gd(Γ). Nous avons montré dans [11], en nous basant sur les résultats de [1], que si G est un groupe de Lie linéaire semisimple et Γ ⊂ G un réseau, alors gd(Γ) est égale à la dimension cohomologique virtuelle vcd(Γ) de Γ, c'est-à-dire la dimension cohomologique de n'importe quel sous-groupe d'indice fini sans torsion. Si K ⊂ G est un sous-groupe compact maximal, l'espace symétrique X = G/K est un modèle de type EΓ, mais pas de dimension minimale sauf si Γ est cocompact. Nous souhaitons ainsi trouver concrètement un modèle de type EΓ de dimension vcd(Γ). Un tel espace peut par exemple servir à calculer la cohomologie de Γ.Il est naturel d'essayer de construire ce modèle en tant que sous-ensemble de l'espace symétrique X, dans ce cas nous l'appelons une épine. Plus précisément, une épine pour Γ est un rétract par déformation Γ-équivariant de l'espace symétrique X = G/K, de dimension vcd(Γ), sur lequel Γ agit de manière cocompacte.Il peut paraître surprenant que de tels espaces ne sont connus que dans très peu de cas (groupes de Q-rang 1, SL(n, Z)). Le but de cet article est d'expliquer pourquoi il peut être difficile de trouver des épines.Rappelons brièvement la construction de l'épine du groupe SL(n, Z). On identifie l'espace symétrique S n = SL(n, R)/SO(n) avec l'ensemble des réseaux de R n de covolume 1 modulo isométries munis d'une Z-base. Généralisant un résultat de Soulé (voir [17]), Ash a prouvé dans [2] que l'ensemble des réseaux dont les systoles (ou vecteurs minimaux) engendrent R n est une épine pour SL(n, Z) (voir [2]). Plus précisément, si X i est l'ensemble des réseaux dont les vecteurs minimaux engendrent un sous-espace de dimension au moins i (pour i = 1, . . . , n), on peut montrer que X i+1 est un rétract par déformation SL(n, Z)-équivariant de X i pour tout i = 1, . . . , n − 1.Il y a eu par la suite des tentatives de constructions similaires pour d'autres groupes arithmétiques tels que le groupe symplectique Sp(2g, Z). Par exemple, Bavard a montré dans [4] que l'ensemble des réseaux symplectiques dont les systoles engendrent un sousespace non-isotrope pour la forme symplectique est un rétract Sp(2g, Z)-équivariant de l'espace de Siegel h g = Sp(2g, R)/U(g). Malheureusement ce rétract est de codimension 1, car il existe des réseaux symp...

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Geometric dimension of lattices in classical simple Lie groups

Abstract: Abstract. We prove that if Γ is a lattice in a classical simple Lie group G, then the symmetric space of G is Γ-equivariantly homotopy equivalent to a proper cocompact Γ-CW complex of dimension the virtual cohomological dimension of Γ.

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Dimension rigidity of lattices in semisimple Lie groups

Dimension rigidity of lattices in semisimple Lie groups

Stable finiteness properties of infinite discrete groups

On the difficulty of finding spines

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