Galerkin Method with Discontinuous Basis Functions on Staggered Grips a Priory Estimates for the Homogeneous Dirichlet Problem

Abstract

1 Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé Ìîðäîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.Ï. Îãàðåâà, ã. Ñàðàíñê, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ  äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëåíû àïðèîðíûå îöåíêè òî÷íîñòè ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ñ ðàçðûâíûìè áà-çèñíûìè ôóíêöèÿìè íà ðàçíåñåííûõ ñåòêàõ. Äëÿ àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîãî ýëëèïòè-÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ èçâåñòíûìè íà÷àëüíî-êðàåâûìè óñëîâèÿìè ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ñ ðàçðûâíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè, íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü åãî ê ñèñòåìå äèôôå-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ââîäÿò-ñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé êîìïîíåíòû ïîòîêà èñêîìîé âåëè÷èíû. Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ íàõîaeäåíèå âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ íà ÿ÷åéêàõ äâîéñòâåííîé ñåòêè. Äâîéñòâåííàÿ ñåòêà ñîñòîèò èç ìåäèàí-íûõ êîíòðîëüíûõ îáúåìîâ è ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿaeåííîé ê îñíîâíîé íåñòðóêòóðèðîâàííîé òðåóãîëüíîé ñåòêå. ×èñëåííûå ïîòîêè íà ãðàíèöå ìåaeäó ýëåìåíòàìè íàõîäÿòñÿ ñ èñ-ïîëüçîâàíèåì ñòàáèëèçèðóþùèõ äîáàâîê. Äëÿ ñòàáèëèçèðóþùåãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïîðÿäêà 1 ïîêàçàíî, ÷òî ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè áóäåò k + 1 2 , à â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ñòàáèëèçèðóþùåãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà h −1 ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ äî k+1, êîãäà â êà÷åñòâå áàçèñà èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìû ñòåïåíè íå íèaeå k.Êëþ÷åâûå ñëîâà: àïðèîðíûå îöåíêè ïîãðåøíîñòè; êîíå÷íûå ýëåìåíòû; ìåòîä Ãà-ëåðêèíà ñ ðàçðûâíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè; ðàçíåñåííûå ñåòêè; ýëëèïòè÷åñêèå çà-äà÷è. ÂâåäåíèåÐàíåå àâòîðàìè áûëî ïðåäëîaeåíî íîâîå ñåìåéñòâî ñõåì íà îñíîâå ëîêàëüíîãî ìå-òîäà Ãàëåðêèíà ñ ðàçðûâíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè íà ðàçíåñåííûõ íåñòðóêòóðèðî-âàííûõ ñåòêàõ äëÿ óðàâíåíèé äèôôóçèîííîãî òèïà [1 4]. Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ äàííîãî ñåìåéñòâà ñõåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî àïïðîêñèìàöèÿ ïîòîêà èñêîìîé ôóíêöèè ïðîèçâîäèòñÿ íà äâîéñòâåííîé ñåòêå, ñîñòîÿùåé èç ìåäèàííûõ êîíòðîëüíûõ îáúå-ìîâ, ñâÿçàííûõ ñ óçëàìè îñíîâíîé ñåòêè, â òî âðåìÿ êàê àïïðîêñèìàöèÿ èñêîìîé ôóíêöèè ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ÿ÷åéêàõ îñíîâíîé ñåòêè.