Fundamentos matematicos das teorias de calibre

O papel algebrico dos operadores diferenciais no formalismo variacional

“…Como estamos buscando uma formulação algébrica, isso não vem ao caso em nosso estudo. Para mais informações, vide [33,62].…”

“…Uma resposta parcial a esta questão pode ser encontrada em [68]. Entretanto, a idéia de conexão gera uma cisão em uma seqüência exata de fi brados vetoriais, envolvendo o fi brado tangente e o fibrado E, dando à luz os campos verticais e aos horizontais [62]. Dessa cisão obtemos a Sf-seqüência espectral de Vinogradov [63,70], envolvendo os invariantes integrais de Cartan [23,64].…”

“…A representação do módulo Ai(S) como a i-ésima potência exterior de .QK (S), permite-nos pensar nos elementos a E Ai(S) como funções anti-simétricas i-lineares sobre DerK(S), que corresponde ao tratamento clássico de uma forma diferencial sobre uma variedade. Neste caso, continua válida a fórmula clássica para a diferencial exterior[62,72], de modo que devemos mostrar que:dmh(D}ID2,D3) = DI mh (D2,D3)-D2mh (Dl,D3) + D3mh(Dl ,D2)--mh([Dl,D2], D3) + mh ([DpD3 ], D2 )fjjh([D2 ,D3], Dl) -o, onde DpD 2 ,D 3 E DerK (S).Como QK (S) é gerado, como S-módulo, pelos elementos da forma ds, e como h é, por hipótese, um isomorfismo, o módulo DerK (S) é gerado pelas derivações da forma Hs com as mesmas relações. Portanto, como a fórmula clássica para a diferencial exterior é linear em todos os argumentos, basta verificarmo-la para D, = Hs;• i= 1 ,2, 3.Assim,dmh(Hs1 ,Hs 2 ,Hs) = Hs 1 mh(Hs 2 ,Hs)-Hs 2 mh(Hs 1 ,Hs 3 )+ +Hs 3 fjjh (Hs 1 ,Hs)-é0h([Hs 1 ,Hs 2 ],Hs 3 )+ +é0h ([Hs 1 ,Hs 3 ], Hs 2 ) -éàh ([Hs 2 ,Hs 3 ], Hs 1 ) -2 ( {s 1 , {s 2 ,s 3 }} + {s 3 , {s 1 ,s 2 }} + {s 2 , {s 3 ,s 1 }}) -o, devido à identidade de Jacobi do colchete de Poisson, estabelecida pela Proposição 3.1.…”