Fundamental groups of spaces of generalized perfect splines

2022

In the present paper the spaces $\Omega_n(m)$ are considered. The spaces $\Omega_n(m)$, introduced in 2018 by A.M. Pasko and Y.O. Orekhova, are the generalization of the spaces $\Omega_n$ (the space $\Omega_n(2)$ coincides with $\Omega_n$). The investigation of homotopy properties of the spaces $\Omega_n$ has been started by V.I. Ruban in 1985 and followed by V.A. Koshcheev, A.M. Pasko. In particular V.A. Koshcheev has proved that the spaces $\Omega_n$ are simply connected. We generalized this result proving that all the spaces $\Omega_n(m)$ are simply connected. In order to prove the simply connectedness of the space $\Omega_n(m)$ we consider the 1-skeleton of this space. Using 1-cells we form the closed ways that create the fundamental group of the space $\Omega_n(m)$. Using 2-cells we show that all these closed ways are equivalent to the trivial way. So the fundamental group of the space $\Omega_n(m)$ is trivial and the space $\Omega_n(m)$ is simply connected.

mentioning

confidence: 77%

“…Denote by Ω n (m), n ≥ 2, the subspace of the space L 1 [0, 1] that consists of the splines (1) for q ≤ n. The space Ω n (2) coincides with the space Ω n that has been studied in [1], [5], [6]. V.I.…”

mentioning

confidence: 99%

The fundamental group of the space $\Omega_n(m)$

2022

“…Ruban [5], [6] who has built CW structure on Ω n and calculated the cohomologies of the space Ω n . V.A.Koshcheev [1] has proved that the spaces Ω n are simply connected. A.M. Pasko [2] has established that the homotopy groups…”

Section: The Betti Numbers Of the Space Cωmentioning

confidence: 99%

The Betti numbers of the space $\mathbb{C}\Omega_3$

2020

“…Denote by Ω n (m), n ≥ 2, the subspace of the space L 1 [0, 1] that consists of the splines (1) for q ≤ n. The space Ω n (2) coincides with the space Ω n that has been studied in [1], [2], [4], [5]. V.I.…”

mentioning

confidence: 99%

“…V.A.Koshcheev [1] has proved that the spaces Ω n are simply connected. A.M. Pasko [2] has established that the homotopy groups…”

mentioning

confidence: 99%

The homology groups of the space $\Omega_n(m)$

2019

The homology groups of the space Ω n (m) У статтi введено простiр Ω n (m), як певне узагальнення просторiв узагальнених досконалих сплайнiв Ω n . Сплайни простору Ω n (m), на вiдмiну вiд сплайнiв простору Ω n , набувають значень не ±1, а значень серед множини G m , яка складається з m рiвновiддалених вузлiв одиничного кола комплексної площини. Як i для простору Ω n , топологiя простору Ω n (m) наслiдувана з L 1 . При m = 2 простiр Ω n (2) збiгається з простором Ω n . Систематичне дослiдження гомотопiчних iнварiантiв простору Ω n було започатковане В.I. Рубаном, який побудував клiтинну структуру цього простору, i з її допомогою 1985 року знайшов групи n-вимiрних гомологiй простору Ω n , а 1999 року повнiстю розв'язав задачу вiдшукання груп його когомологiй. В подальшому гомотопiчнi iнварiанти простору Ω n вивчалися В.А. Кощеевим, який встановив однозв'язнiсть Ω n , та А.М. Паськом, який знайшов гомотопiчнi групи цих просторiв у вимiрностях вiд 2 до n. Задля вивчення гомотопiчних iнварiантiв простору Ω n (m) введено клiтинну структуру цього простору, яка узагальнює побудовану В.I. Рубаном клiтинну структуру простору Ω n . Кожна клiтина простору Ω n (m) має вигляд c q (l 0 , l 1 , . . . , l q ), де q, q ≤ n, є кiлькiсть вузлiв сплайнiв, з яких складається клiтина, а l 0 , l 1 , . . . , l q є номери значень множини G m , яких набувають сплайни на вiдповiдних iнтервалах, для кожної клiтини побудовано характеристичне вiдображення. Таким чином, Ω n (m) перетворено на n-вимiрний клiтинний простiр. Побудована клiтинна структура простору Ω n (m) дозволяє легко обчислити кiлькiсть клiтин у кожнiй вимiрностi. Ейлерова характеристика будьякого скiнченновимiрного клiтинного простору виражається через кiлькостi клiтин у кожнiй вимiрностi, що дозволило обчислити ейлерову характеристику просторiв Ω n (m), потрiбну для обчислення його гомологiчних груп. З допомогою введеної клiтинної структури простору Ω n (m) також з'ясовано вигляд межового оператора на групах ланцюгiв цього простору. Для обчислення гомологiчних груп клiтинного простору Ω n (m) введено оператор D : C q (Ω n (m)) → C q+1 (Ω n+1 (m)), що дiє з групи qвимiрних ланцюгiв простору Ω n (m) у групу q+1-вимiрних ланцюгiв простору Ω n+1 (m). Зазначимо, що простiр Ω n (m) завжди є пiдмножиною простору Ω n+1 (m), що дозволяє розглянути оператор вкладення i : Ω n (m) → Ω n+1 (m), який породжує гомоморфiзм i : C q (Ω n (m)) → C q (Ω n+1 (m)) вiдповiдних груп клiтинних ланцюгiв. Побудований вище оператор D разом iз формулою для обчислення межового оператора дозволяє довести що у всiх вимiрностях q ≥ 1 операторī ланцюгово гомотопний тривiальному, а отже ним породжений оператор i * тривiальний. Тривiальнiсть цього оператора, разом iз технiкою точної гомологiчної послiдовностi пари дозволяє встановити тривiальнiсть груп гомологiй простору Ω n (m) у вимiрностях вiд 1 до n − 1. Оскiльки простiр однозв'язний, то його 0-вимiрна група гомологiй iзоморфна адитивнiй групi цiлих чисел. Отже, нами знайдено всi гомологiчнi групи просторiв Ω n (m) у вимiрностях вiд 0 до n − 1. Пiдрахунок ейл...