Fourier's Law for a Harmonic Crystal with Self-Consistent Stochastic Reservoirs

Abstract

We consider a d-dimensional harmonic crystal in contact with a stochastic Langevin type heat bath at each site. The temperatures of the ''exterior'' left and right heat baths are at specified values T L and T R , respectively, while the temperatures of the ''interior'' baths are chosen self-consistently so that there is no average flux of energy between them and the system in the steady state. We prove that this requirement uniquely fixes the temperatures and the self consistent system has a unique steady state. For the infinite system this state is one of local thermal equilibrium. The corresponding heat current satisfies Fourier's law with a finite positive thermal conductivity which can also be computed using the Green-Kubo formula. For the harmonic chain (d=1) the conductivity agrees with the expression obtained by Bolsterli, Rich, and Visscher in 1970 who first studied this model. In the other limit, d ± 1, the stationary infinite volume heat conductivity behaves as (a d d) −1 where a d is the coupling to the intermediate reservoirs. We also analyze the effect of having a non-uniform distribution of the heat bath couplings. These results are proven rigorously by controlling the behavior of the correlations in the thermodynamic limit.

Аналитический Подход К (Ан)гармоническим Кристаллическим Цепочкам С Самосогласованными Стохастическими Резервуарами

“…Теорема, устанавливающая конечность теплопроводности для рассмотренной модели, была, как мы уже отмечали, сформулирована ранее в [4], причем с не обязательно малым межчастичным потенциалом для соседних узлов. Наша цель, как мы уже подчеркивали, состоит не в том, чтобы дать второе дока-зательство, а в том, чтобы представить более общий подход, распространяемый на ангармонические цепочки.…”

“…Это можно показать, например, диагонализацией A 0 (см. также приложение в [4]). Заметим, кроме того, что C(t, s) = exp −(t − s)A 0 C + O exp −(t + s)ξ/2 ,…”

“…Недавно к гармонической цепочке осцилляторов вернулись в рамках аналитических исследований, но при условии, что каждый узел взаимодействует со стохастическим резервуаром. Было доказано [4], (АН)ГАРМОНИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ЦЕПОЧКИ 139 что в этом случае имеет место закон Фурье. Разумеется, если нет взаимодействия с внутренними резервуарами, теплопроводность расходится, и закон Фурье более не выполняется, как ранее было показано в [3].…”

“…Разумеется, если нет взаимодействия с внутренними резервуарами, теплопроводность расходится, и закон Фурье более не выполняется, как ранее было показано в [3]. Поскольку методика, предложенная в работе [4], целиком зависела от линейности динамики (т.е. от гармоничности по-тенциала), некоторые из авторов настоящей работы предложили другой подход к исследованию цепочки осцилляторов с резервуаром в каждом узле с целью изучения задачи с ангармоническими потенциалами и выяснения их поведения при наличии термостатов только на границах [5]- [8].…”

“…Более того, мы обращаемся к более простому случаю гармонической цепочки с резерву-аром в каждом узле и даем новое доказательство конечности теплопроводности, используя наш подход и пертурбативный анализ (мы доказываем сходимость ря-да теории возмущений). Представленное здесь выражение для теплопроводности совпадает с выражением из [4].…”