Formalization, Syntax and the Standard Model of Arithmetic

Abstract

I make an attempt at the description of the delicate role of the standard model of arithmetic for the syntax of formal systems. I try to assess whether the possible instability in the notion of finiteness deriving from the nonstandard interpretability of arithmetic affects the very notions of syntactic metatheory and of formal system. I maintain that the crucial point of the whole question lies in the evaluation of the phenomenon of formalization. The ideas of Skolem, Zermelo, Beth and Carnap (among others) on the problem are discussed.'A tries to explain to B the meaning of negation. Finally A gives up, saying: "You don't understand what I mean, and I am not going to explain any longer," to which B replies: "Yes, I see what you mean, and I am glad you are willing to continue your explanations"'.

Uma abordagem modelo-teórica da computabilidade de Turing clássica

“…Oâmbito pré-matemático de Hilbert, composto apenas por símbolos, nãoé desprovido de significação, pois máquinas de Turing computam sobre símbolos que sempre são interpretados em algum modelo aritmético. L. Bellotti [Bellotti(2007)] tem argumentado que a possibilidade de instabilidade na noção de finitude, derivada da existência de modelos não-padrão da aritmética, interfere na sintaxe de sistemas formais. Noutras palavras, oâmbito pré-matemático de Hilbert nãó e independente da perspectiva metamatemática que temos dele.…”