Forced Vibration of a Timoshenko Beam Subjected to Stationary and Moving Loads Using the Modal Analysis Method

Abstract

The modal analysis method (MAM) is very useful for obtaining the dynamic responses of a structure in analytical closed forms. In order to use the MAM, accurate information is needed on the natural frequencies, mode shapes, and orthogonality of the mode shapes a priori. A thorough literature survey reveals that the necessary information reported in the existing literature is sometimes very limited or incomplete, even for simple beam models such as Timoshenko beams. Thus, we present complete information on the natural frequencies, three types of mode shapes, and the orthogonality of the mode shapes for simply supported Timoshenko beams. Based on this information, we use the MAM to derive the forced vibration responses of a simply supported Timoshenko beam subjected to arbitrary initial conditions and to stationary or moving loads (a point transverse force and a point bending moment) in analytical closed form. We then conduct numerical studies to investigate the effects of each type of mode shape on the long-term dynamic responses (vibrations), the short-term dynamic responses (waves), and the deformed shapes of an example Timoshenko beam subjected to stationary or moving point loads.

Sử dụng dạng giải tích phân tích dao động cưỡng bức có cản của dầm Timoshenko chịu tải di động

“…Với các nghiên cứu của tác giả trên thế giới, vấn đề này đã được nghiên cứu từ lâu, các nghiên cứu khá đầy đủ và phong phú [15][16][17][18][19][20][21][22]. Các nghiên cứu này đa số sử dụng các phương pháp số để đánh giá các đáp ứng động lực học và đều chưa xét đến ảnh hưởng của hệ số cản trong cũng như cản ngoài đến nghiệm của dao động.…”

Impact Factors Derived From Internal Forces in Timoshenko Beams Subjected to Concentrated Moving Loads

“…Regarding the solution to this problem in the framework of Timoshenko's beam theory, current existing publications address the question employing several methods such as modal expansion, integral transforms or wave propagation functions to name just a few. A complete treatment is given in the work of Kim et al [4].…”

Phân tích tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm bê tông ứng suất trước với các điều kiện biên khác nhau

“…Theo tài liệu [10] tác giả đã khảo sát đáp ứng động lực học của cầu dư ứng lực ở Việt Nam dưới tác dụng của hoạt tải khai thác. Bên cạnh đó, các nghiên cứu về tần số riêng và dạng dao động riêng của các loại dầm với các vật liệu và các lý thuyết dầm khác nhau cũng được nghiên cứu như ở các tài liệu [11][12][13][14][15].…”