Finite spectrum assignment problem for bilinear systems with several delays

Abstract

A bilinear control system defined by a linear stationary differential system with several non-commensurate delays in the state variable is considered. A problem of finite spectrum assignment by constant control is studied. One needs to construct constant control vectors such that the characteristic function of the closedloop system is equal to a polynomial with arbitrary given coefficients. Conditions on coefficients of the system are obtained under which the criterion was found for solvability of the finite spectrum assignment problem. Interconnection of the criterion conditions with the property of consistency for the truncated system without delays is shown. Corollaries on stabilization of bilinear systems with delays are obtained. The similar results are obtained for discrete-time bilinear systems with several delays. An illustrative example is considered.

Spectrum assignment in linear systems with several commensurate lumped and distributed delays in state by means of static output feedback

“…Для линейной стационарной управляемой системы, заданной системой дифференциальных уравнений размерности n, с несколькими входами и выходами, исследовались: задача назначения произвольного конечного спектра в работе [26] для системы с одним или несколькими несоизмеримыми сосредоточенными запаздываниями, в работе [27] для системы с одним или несколькими несоизмеримыми сосредоточенными и распределенными запаздываниями; задача назначения произвольного бесконечного спектра в работе [28] для системы с несколькими соизмеримыми сосредоточенными запаздываниями, в работе [29] для системы с несколькими несоизмеримыми сосредоточенными запаздываниями. Задача назначения конечного спектра для билинейных систем с запаздываниями исследовалась в работах [30,31].…”

“…О п р е д е л е н и е 2. Для системы (30), (2) разрешима задача назначения произвольного спектра посредством регулятора (31), если для любого числа ℓ 0 и любых чисел γ iµ ∈ K, i = 1, n, µ = 0, ℓ, найдутся число θ 0 и матрицы Q ρ ∈ M m,k (K), ρ = 0, θ, такие, что характеристическая функция замкнутой системы (30), (2), (31) удовлетворяет равенству…”

“…С л е д с т в и е 4. Если матрицы (6) линейно независимы, то система (30), (2) экспоненциально стабилизируема посредством статической обратной связи по выходу (31).…”

Spectrum assignment and stabilization of linear differential equations with delay by static output feedback with delay

“…Here it is required to find conditions providing the desired placement of the spectrum of the system, that is, the sets of zeros of the characteristic function of the system. There are works on assignment of a given finite spectrum [10][11][12][13][14][15][16], spectral reducibility [17,18], i.e., reduction of systems to a finite (but not given) spectrum, modal controllability [19][20][21][22][23][24][25]. In the present paper, necessary and sufficient conditions are obtained for arbitrary spectrum assignability by linear static output feedback for a control system defined by a linear differential equation of n-th order with one lumped and one distributed delay in the state variable.…”