Fenchel-Nielsen coordinates for asymptotically conformal deformations

Abstract

Abstract. Let X be an infinite hyperbolic surface endowed with an upper bounded geodesic pants decomposition. Alessandrini, Liu, Papadopoulos, Su and Sun [2,3] parametrized the quasiconformal Teichmüller space T qc (X) and the length spectrum Teichmüller space T ls (X) using the Fenchel-Nielsen coordinates. A quasiconformal map f : X → Y is said to be asymptotically conformal if its Beltrami coefficient µ =∂f /∂f converges to zero at infinity. The space of all asymptotically conformal maps up to homotopy and post-composition by conformal maps is called "little" Teichmüller space T 0 (X). We find a parametrization of T 0 (X) using the Fenchel-Nielsen coordinates and a parametrization of the closure T 0 (X) of T 0 (X) in the length spectrum metric. We also prove that the quotients AT (X) = T qc (X)/T 0 (X), T ls (X)/T qc (X) and T ls (X)/T 0 (X) are contractible in the Teichmüller metric and the length spectrum metric, respectively. Finally, we show that the Wolpert's lemma on the lengths of simple closed geodesics under quasiconformal maps is not sharp.

Infinite-dimensional Teichm{ü}ller spaces

“…Analogous to the notion of asymptotic Teichmüller space A T H 0 which has been studied by several authors, for instance Earle, Markovic, Šarić [11], Fletcher [14], [13], Matsuzaki [18] and Šarić [24] we define Definition 3.4. We say that two marked length-spectrum bounded hyperbolic surfaces…”

Estimativas das coordenadas de comprimento para um espaço de papel furado

“…Tanto as flautas como as gaitas de fole resultam muito úteis no estudo de propriedades e, na procura de contra-exemplos, na geometría de superfícies do tipo infinito respeito à teoría das superfícies hiperbólicas do tipo finito, em especial, em relação a teoría de Teichmüller neste tipo de superfícies. Convido ao leitor a revisar os artigos [Shi03], [ALP + 11], [ALPS12b], [ALPS12a], [APLS11], [ALPS16], [BŠ17], [Sar15], [Kin11] e [Evr17], entre outros, onde são estudados diferentes aspectos relativos a teoría de Teichmüller em superfícies do tipo infinito; aínda nesta teses a teoría de Teichmüller é apenas rasgunhada, é importante ressaltar que na maioria dos artigos referidos uma característica desejável numa superfície do tipo infinito consiste em que exista uma decomposição em calças de uma superfície, onde os comprimentos da multicurva que realiza tal decomposição sejam uniformemente limitado por acima. Um dos objetivos deste trabalho tem que ver com conseguir condições para garantir a existencia de uma multicurva numa esfera de papel furada cujos comprimentos sejam limitados por uma constante positiva.…”