Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers

Abstract

Abstract. We describe two techniques for fast multiple-precision evaluation of linearly convergent series, including power series and Ramanu-

A Note on the Space Complexity of Fast D-Finite Function Evaluation

“…In the notation of Haible and Pananikolaou [12] also used in Yakhontov's article, the partial sums of the hypergeometric series are related to its defining parameters a, b, p, q by s(i + 1)…”

Вычисление гипергеометрических рядов с квазилинейной временной и линейной eмкостной сложностью

“…Данные ряды линейно сходятся (см. [2][3][4]), и они удовлетворяют условиям (8); следовательно, для расчёта их приближённых значений можно использовать алгоритм LinSpaceBinSplit, то есть перечисленные константы принадлежат множеству конструктивных чисел Sch(F QLIN T IM E//LIN SP ACE) CF . Ал-горитм LinSpaceBinSplit можно также использовать для вычисления прибли-жений многих других констант и приближений элементарных функций в ра-циональных точках.…”

“…Известно [2], что линейно сходящиеся гипергеометрические ряды с ра-циональными коэффициентами можно вычислять с помощью метода двоич-ного деления с временной сложностью O(M (n)(log(n)) 2 ) и ёмкостной слож-ностью O(n log(n)) (M (n) сложность умножения n-битовых целых чисел). В последнее время появились работы, например [3], в которых описываются алгоритмы (на основе модифицированного метода двоичного деления) вы-числения значений линейно сходящихся гипергеометрических рядов с вре-менной сложностью O(M (n)(log(n)) 2 ) и ёмкостной сложностью O(n).…”

Time-and space-efficient evaluation of some hypergeometric constants

“…The high-precision evaluation of elementary functions and other constants -including the exponential function, logarithms, trigonometric functions, and constants such as π or Apéry's constant ζ(3)-is commonly carried out by evaluating such series [10,12]. …”

“…An approach commonly known as "binary splitting" has been independently discovered and used by many authors in such computations [1,2,3,4,9,10,12,13]. In binary splitting, the use of fast integer multiplication yields a total time complexity of O(M(d log d) log d) = O(M(d) log 2 d), where M(t) = O(t log t log log t) is the complexity of multiplication of two t-bit integers [15].…”