Extremal plurisubharmonic functions in $C^N$

Sičiak, Józef

doi:10.4064/ap-39-1-175-211

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“…([9], [14]). Soit κ : N * → N n une bijection telle que pour tout j ∈ N * on ait |κ(j)| ≤ |κ(j + 1)|.…”

Section: Extension Linéaireunclassified

Extensions de jets dans des intersections de classes non quasi-analytiques

Beaugendre

2001

Ann. Polon. Math.

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Abstract. In [3], J. Chaumat and A.-M. Chollet prove, among other things, a Whitney extension theorem, for jets on a compact subset E of R n , in the case of intersections of non-quasi-analytic classes with moderate growth and a Łojasiewicz theorem in the regular situation. These intersections are included in the intersection of Gevrey classes. Here we prove an extension theorem in the case of more general intersections such that every C ∞ -Whitney jet belongs to one of them. We also prove a linear extension theorem in the case of a compact set with Markov's property. These extensions of jets can be chosen to be real-analytic on R n \ E. Then we prove a Łojasiewicz theorem. Introduction.On note E un ensemble compact de R n . Une fonction f de classe C ∞ sur R n appartientà l'intersection des classes de Gevrey G lorsque, pour tout a > 0, on aUn jet F , défini sur E, appartientà G(E) lorsque, pour tout a > 0, on a donc G(E) est l'ensemble des jets qui appartiennentà l'intersection des classes de jets de Gevrey sur E.Les classes de Gevrey interviennent de façon naturelle dans des problèmes d'équations aux dérivées partielles. J. Chaumat et A.-M. Chollet ont prouvé que leur intersection jouit des mêmes bonnes propriétés que C ∞ (R n ). On pourra consulter [3] et [4] où sont notamment démontrés un théorème d'extension de type Whitney, un théorème de division ainsi qu'un théorème de préparation. L'intersection des classes de Gevrey y estétudiée dans le cadre plus large des intersectionsà croissance modérée. Ces intersections sont incluses dans l'intersection des classes de Gevrey.Plus généralement, soit φ une fonction convexe croissante sur R + . On suppose que lim t→+∞ φ(t)/t = +∞. Pour tout a > 0 et tout p ∈ N, on poseDe même, un jet F défini sur E appartientà Jφ(E) lorsque, pour tout a > 0, on a sup p∈N max supOn définit ainsi de nouvelles intersections de classes de fonctions et de classes de jets. Toute fonction de φ définit un jet de Jφ(E) via l'application de restrictionOn dit que la fonction φ est non quasi-analytique lorsque la suite (M (φ) ap ) p≥0 est non quasi-analytique, pour tout a > 0. Cela signifie que la Extensions de jets 215fonction φ vérifie la condition suivante :Lorsque φ est la fonction définie par φ(x) = x ln(1 + x), on retrouve l'intersection des classes de Gevrey : φ = G et Jφ(E) = G(E). Si φ vérifie la condition suivante :on retrouve le cas d'une intersectionà croissance modérée. Les intersections construites ici sont plus riches que les intersectionsà croissance modérée. En effet, si f est une fonction de classe C ∞ sur R n , il existe une fonction φ non quasi-analytique telle que R E (f ) appartienneà Jφ(E).Dans un premier temps, on démontre un théorème d'extension de type Whitney :

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“…([9], [14]). Soit κ : N * → N n une bijection telle que pour tout j ∈ N * on ait |κ(j)| ≤ |κ(j + 1)|.…”

Section: Extension Linéaireunclassified

Extensions de jets dans des intersections de classes non quasi-analytiques

Beaugendre

2001

Ann. Polon. Math.

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“…[17], [20], [18], [16], [12], [10], [1] (for N = 2), and [18], [13], [8] (for arbitrary N ). The case where M is analytic was studied in [14], [15], [19], [6].…”

Section: Auxiliary Resultsmentioning

confidence: 99%

An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities

Jarnicki

Pflug

2002

Trans. Amer. Math. Soc.

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“…Recall that the extremal function, associated with a (nonempty) compact set K ⊂ C N and introduced by J. Siciak in [26], is defined by the formula K (z) := sup{| p(z)| 1/deg p : p ∈ C[Z ] is nonconstant and p K ≤ 1}, for z ∈ C N (cf. [11,22,26,27]). It is a deep result that log K = V K , where…”

Section: R Pierzchała (B)mentioning

confidence: 99%

“…[27,29]). The extremal function is a powerful tool in real and complex analysis (for example, in the theory of holomorphic functions, in approximation theory, as well as in potential and pluripotential theoryfor the latter two see [2,8,24]).…”

Section: R Pierzchała (B)mentioning

confidence: 99%

The Łojasiewicz–Siciak Condition of the Pluricomplex Green Function

Pierzchała

2013

Potential Anal

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The aim of this paper is to address a problem raised originally by L. Gendre, later by W. Pleśniak and recently by L. Białas-Cież and M. Kosek. This problem concerns the pluricomplex Green function and consists in finding new examples of sets with so-called Łojasiewicz-Siciak ((ŁS) for short) property. So far, the known examples of such sets are rather of particular nature. We prove that each compact subset of R N , treated as a subset of C N , satisfies the Łojasiewicz-Siciak condition. We also give a sufficient geometric criterion for a semialgebraic set in R 2 , but treated as a subset of C, to satisfy this condition. This criterion applies more generally to a set in C definable in a polynomially bounded o-minimal structure.

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Extremal plurisubharmonic functions in $C^N$

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Extensions de jets dans des intersections de classes non quasi-analytiques

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An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities

The Łojasiewicz–Siciak Condition of the Pluricomplex Green Function

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