Exact Solution of Cutting Stock Problems Using Column Generation and Branch‐and‐Bound

Abstract

This paper describes an attempt to solve the one‐dimensional cutting stock problem exactly, using column generation and branch‐and‐bound. A new formulation is introduced for the one‐dimensional cutting stock problem that uses general integer variables, not restricted to be binary. It is an arc flow formulation with side constraints, whose linear programming relaxation provides a strong lower bound. In this model, a cutting pattern, which corresponds to a path, is decomposed into single arc variables. The decomposition serves the purpose of showing that it is possible to combine the branch‐and‐bound method with variable generation. Computational times are reported for one‐dimensional cutting stock instances with a number of orders up to 30.

Um Simulated Annealing no Problema do Corte Unidimensional Inteiro

“…onde ∆ = min Suponha que existam n maneiras distintas de se formar todas as combinações de corte possíveis atendendo as restrições (1)- (3). Como visto, mesmo para m da ordem de dezenas, o valor de n pode facilmente atingir a casa dos milhões ou bilhões, desde que a razão L/l i fique suficientemente pequena.…”

“…Isso se deve, principalmente,à integrabilidade e o elevado número de variáveis decisórias envolvidas neste problema. Alguns poucos algoritmos exatos para encontrar a soluçãoótima inteira do PCUI são conhecidos na literatura, como [9], [3], [12] e [11]. No entanto, estes métodos podem ser aplicados apenas a problemas de pequeno porte.…”

Heurísticas para o problema de corte de estoque unidimensional inteiro

“…Alguns poucos algoritmos exatos para encontrar a solução ótima inteira de problemas de corte de estoque são conhecidos na literatura (Vanderbeck & Wolsey, 1996;Carvalho, 1999), mas devido a limitações computacionais de tempo e/ou espaço, podem ser aplicados apenas a problemas de pequeno porte e, por isto, não serão analisados neste artigo, já que estamos interessados em soluções boas e rápidas, mesmo que a otimalidade não seja garantida. A eficácia das heurísticas será analisada pela comparação dos resultados de uma com a outra e, a capacidade de gerar soluções ótimas, quando um bom limitante inferior é conhecido, além do tempo computacional requerido.…”

Reformulation and Decomposition of Integer Programs

“…Villeneuve et al [93] suggest that one can always proceed by using standard branching in an "original" formulation and re-apply Dantzig-Wolfe reformulation to the problem augmented with branching constraints, but this leads to problems of symmetry in the case of multiple identical subproblems. Examples of branching on auxiliary variables, implicitly using an extended formulation as presented in Options 3 and 4 can be found in Belov et al [7], Campêlo et al [17] and Carvalho [23]. The scheme presented in Option 2 and its extension presented in Option 5 has been proposed as a generic all-purpose scheme by Vanderbeck [90] (although it normally assumes a bounded subproblem, it is can also be used in some application specific context where the subproblem is unbounded).…”