Estimating Dispersion of Input Factor Error in the Polynomial Functional Model in the Presence of Homoscedasticity

Abstract

1Функциональные модели с ошибками в переменных не укладываются в стандартную регрессионную постановку, поскольку входные факторы в модели представлены неизвест-ными детерминированными величинами, на практике наблюдаемыми со случайными по-грешностями. Обычно оценивание таких моделей производится с использованием дополни-тельной информации: о дисперсии ошибки входного фактора (метод скорректированных наименьших квадратов, разработанный специально для оценивания полиномиальных зави-симостей) или о соотношении дисперсий ошибок факторов (метод общих наименьших квад-ратов). Их значения, как правило, задаются из априорных предположений. В работе пред-принимается попытка ослабить модельные предположения, а именно исключить необходи-мость задавать дисперсию ошибки входного фактора благодаря возможности ее оценивания по тем же данным, по которым восстанавливается нелинейная модель, т. е. без привлечения дополнительной информации. Такая возможность появляется в случае, если ошибки измере-ния однородны. Тогда, если оценки ненаблюдаемых значений входного фактора близки к истинным, должна обнаруживаться гомоскедастичность ошибок, которая нарушается, как только во входном факторе нелинейной модели появляются погрешности. Это аналитически показано для полиномиальных моделей. Тем самым в рамках предлагаемого алгоритма под-бирается такая оценка дисперсии ошибки входного фактора, которая минимизирует стати-стику критерия обнаружения гетероскедастичности. В ходе вычислительных экспериментов сравнивалась работа алгоритма при использовании различных критериев проверки гипотезы об однородности дисперсии ошибок. Кроме того, сопоставлялась точность восстановления отклика с учетом найденных оценок и с помощью обычного метода наименьших квадратов. Установлено, что разработанный алгоритм обеспечивает значительное превосходство по ос-таточной сумме квадратов, т. е. может быть рекомендован к применению на практике.Ключевые слова: модель с ошибками в переменных, функциональный случай, диспер-сия ошибки, входной фактор, гетероскедастичность, критерий Спирмена, критерий Бартлет-та, критерий ANOVA, метод скорректированных наименьших квадратов, метод общих наи-меньших квадратов. ВведениеИсследователи во многих областях науки сталкиваются с задачей восстановления уравне-ния ( ) ; Y f X = θ зависимости отклика Y от объясняющей переменной X по наблюдаемым данным. Функция ( ) ; f X θ , в общем случае нелинейная, предполагается заданной с точностью до вектора неизвестных параметров θ . Вычисление значений θ не составило бы труда, если бы наблюдаемые значения y , x точно воспроизводили истинные значения , Y X . Но на практике это далеко не так. В любом эксперименте возникают погрешности, обусловленные как неточно-стью измерения, так и невозможностью полностью исключить влияние внешних факторов.В стандартной регрессионной постановке предполагается, что зашумлены только значе-ния отклика, т. е. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå15 ях это имеет место. Например, при проведении исследований в области химии высокомолеку-лярных соединений не удается в точности опр...