Équivalence rationnelle d'algèbres polynomiales classiques et quantiques

Abstract

Cet article est consacré à l'étude de l'équivalence rationnelle des algèbres non commutatives de polynômes dans un cadre englobant à la fois le problème classique de Gelfand-Kirillov et son analogue quantique. On introduit dans ce contexte mixte une classe d'algèbres de référence et on définit deux nouveaux invariants permettant de séparer les corps de fractions de ces algèbres à isomorphisme près. L'un est lié à la notion de sous-tore quantique maximal simple, l'autre est un invariant dimensionnel mesurant via certains plongements le caractère classique, en terme d'algèbre de Weyl, des corps considérés. A titre d'application on en déduit des résultats concernant l'équivalence rationnelle des algèbres de Weyl quantiques multiparamétrées.  2004 Elsevier Inc. All rights reserved. AbstractThis article is devoted to rational equivalence for non-commutative polynomial algebras in a context including both the classical Gelfand-Kirillov problem and its quantum version. We introduce in this "mixed" context some reference algebras and define two new invariants allowing us to separate the fraction fields of these algebras up to isomorphism. The first one is linked to the notion of maximal simple quantum sub-torus, and the second one is a dimensional invariant measuring the classical character (in terms of Weyl algebras) of the skew-fields into consideration. As an application we obtain results concerning the rational equivalence of multiparametrized quantum Weyl algebras.

On enveloping skew fields of some Lie superalgebras

“…Proof. The algebra A s r,t of lemma 1.2 is a particular case of the algebras S Λ n,r studied in [18]. Explicitly A s r = S Λ n,r for n = r + 2s + t and Λ = (λ ij ) the n × n matrix with entries in C defined by λ r+2k−1,r+2k = λ r+2k,r+2k−1 = −1 for any 1 ≤ k ≤ s, and λ i,j = 1 in any other case.…”

“…A noteworthy fact is that these relations are braided and not necessarily pairwise separable up to isomorphism as in the case of the classical Weyl skew fields. The main properties of these skew fields, which already appeared in [2] and [18], are given in section 1. We end this introduction by a short reminder on the para-Bose definition of the Lie superalgebra osp(1, 2n) and its enveloping algebra (see [6], [14]). The basefield is C. We fix an integer n ≥ 1.…”

Dérivations des Algèbres de Weyl Quantiques Multiparamétrées et de Certaines de leurs Localisations Simples

“…On peut également démontrer par des méthodes similaires (identification des termes dans des bases de monômes) que HH 0 A¯1 n k = 0 (voir la Proposition 5.3.2.3 de Richard, 2002a). On peut cependant montrer à l'aide du Lemme 4.4 et des résultats de séparation rationnelle de Richard (2005) que ces algèbres ne sont pas Morita équivalentes. On peut cependant montrer à l'aide du Lemme 4.4 et des résultats de séparation rationnelle de Richard (2005) que ces algèbres ne sont pas Morita équivalentes.…”

“…C'est une conséquence du Théorème 7.5 de Richard (2005). C'est une conséquence du Théorème 7.5 de Richard (2005).…”

“…Dans la situation opposée où seul l'espace est quantifié (i.e.,q = 1 1 ) nous avons en Richard (2004) calculé toute l'homologie de A¯1 n k et fait apparaître une dualité de Poincaré, mettant en 1384 RICHARD particulier en évidence que les dérivations de A¯1 n k sont toutes intérieures, comme dans le cas de l'algèbre de Weyl classique. Il en ressort en particulier que le nombre de q i égaux à 1, qui apparaissait déjà comme un invariant de classification rationnelle de ces algèbres dans Richard (2005), est aussi directement lié à la dimension de HH 1 A . Il en ressort en particulier que le nombre de q i égaux à 1, qui apparaissait déjà comme un invariant de classification rationnelle de ces algèbres dans Richard (2005), est aussi directement lié à la dimension de HH 1 A .…”