Equiconvergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions

Abstract

One dimensional Dirac operators0 and subject to regular boundary conditions (bc), have discrete spectrum. For strictly regular bc, the spectrum of the free operator L bc (0) is simple while the spectrum of L bc (v) is eventually simple, and the corresponding normalized root function systems are Riesz bases. For expansions of functions of bounded variation about these Riesz bases, we prove the uniform equiconvergence property and point-wise convergence on the closed interval [0, π]. Analogous results are obtained for regular but not strictly regular bc.

On the Riesz basis property of root vectors system for 2 × 2 Dirac type operators

“…Going over to BVP (1.8)-(1.10) we note that a special case of 2 × 2 Dirac operators L C,D (Q), have been investigated much deeper. For instance, P. Djakov and B. Mityagin [10] imposing certain smoothness condition on Q proved equiconvergence of the spectral decompositions for 2 × 2 Dirac equations subject to general regular boundary conditions. Moreover, the Riesz basis property for 2 × 2 Dirac operators L C,D (Q) has been investigated in numerous papers (see [54,55,18,8,3,9,11,12,13] and references therein).…”

О Двухточечных Краевых Задачах Для Операторов Штурма - Лиувилля И Дирака

“…[33]), что для задачи (7) с условиями периодического типа все корневые подпространства состоят из двух собственных функций, а для всех оставшихся условий они состоят из одной собственной функции и одной присоединенной функции. Во всех случаях система корневых функций рассматриваемой задачи образует базис Рисса в H. Случай периодических и антипериодических краевых условий исследовался в [1,3,5,9,23,[33][34][35][36][37][38]50], если функции P (x), Q(x) ∈ L 2 (0, π). В частности, в [5, теорема 71] построен пример такой потенциальной матрицы V (x), что соответствующее спектральное разложение расходится в H. В дальнейшем, не ограничивая общности, будем предполагать, что корневые функции, соответствующие кратному собственному значению, образуют ортонормированный базис в соответствующем корневом подпространстве.…”

On convergence of spectral expansions of Dirac operators with regular boundary conditions

“…Dirac operators with nonsmooth potentials were considered by Burlutskaya, Kornev and Khromov [6, 19]. Regular Dirac problems with potentials $$V\in L_2(0,\pi )$$ were studied by Djakov and Mityagin [9–15], and also by Arslan [1]. It was established by Lunyov and Malamud in [22, 23] and independently by Savchuk, Sadovnichaya and Shkalikov in [29, 30] that the root function system of problem (1.2), (1.3) with strongly regular boundary conditions forms a Riesz basis in $$\mathbb {H}$$ and a Riesz basis with parentheses in $$\mathbb {H}$$ in the case of regular but not strongly regular boundary conditions.…”