Entwicklungen nach Eigenfunktionen und allgemeine Fastperiodizit�t. II

Eigenfunktion-Entwicklungen und allgemeine Fastperiodizität

“…104].) W e n n m a n n u n fastperiodische LSsungen von (1) untersuchen will, so scheint es zun/ichst naturgemiift zu sein, nur solche LSsungen zu betrachten, die lediglich in cinem Halbstreifen oberhalb der x-Achse definiert u n d fastperiodisch sind; eine derartige Betrachtungsweise ist insbesondere fiir den folgenden P a r a g r a p h e n sowie fiir [14], [15] naheliegend. Daft es t r o t z d e m hier u n d in [12] keine Einschr/~nkung der Allgemeinheit bedeutet, wenn m a n von vornherein H = R a n n i m m t , zeigt der folgende Satz: …”

“…Beschr~nkt man rich aber, bei beliebigem a, I und ~, auf diese Teilklasse a-fastperiodischer Funktionen, so lassen rich einerseits siimtliche Begriffe und S/~tze, die hier und in § 1 sowie in [14], [15] vorkommen, so definieren bzw. versch/irfen, dab sic im Falle a ~ 0 genau die klassischen Begriffe und S~tze fiber fastperiodische Funktionen ergeben (~ spielt dabei teilweise keine Rolle), andererseits kann man dann auch im allgemeinen Fall a ~ 0 noch mehr aussagen: Beispielsweise rind ohne irgend welche Einschr~nkungen fiber a, I und Q die elementaren R/iume P~ ~ immer h6chstens eindimensional und dutch h' (xo, co) = ico h(x o, w) bestimmt, allgemein ist die Zuordnung zwischen…”

Entwicklungen verallgemeinerter fastperiodischer Funktionen nach Eigenfunktionen

“…Was die Konstante C im zweiten Tefl yon Satz 4 betrifft, so ist oben fiir beliebige endliche symmetrische Mengen ~ (sie brauchen nicht von der Form /2 $28 zu sein) gezeigt worden, dab Die Xh(x, w) und x 0 zugeordnete 0-Reihe sieht dabei so aus: Statt die Frage, ob eine vorgelegte a-Reihe eine a-Fourierreihe ist, auf den Fall a --0 zurfickzuffihren, kann man natfirlich auch Satz 5 in der umgekehrten Richtung anwenden, mit Hilfe yon [12], Satz 2.1, lassen sich daher sdmtliche a-Fourierreihen mittels Bohrscher Fourierreihen hinschreiben (man vergleiche (15) in Beispiel 1.b) in § 2 yon [12]). Welter kann man z.…”

“…h(x, o~) eine a-Fourierreihe ist, wird durch Satz 5 auf den Bohrschen Fall (D a ~ 0 zuriickgefiihrt (hier beachte man den Anfang yon § 2 in [12] alle reellen ~o, wenn die Reihe auf irgend einem Intervall absolut konvergiert. Der letzte Paragraph ist der Berechnung der a-Fourierreihe mittels eines Skalarproduktes gewidmet.…”

“…a(x) ~ 0 fiir Ixl .... ~oo, hinreichend rasch; man vergleiehe jedoch Beispiel 4.b in [12], § 2). a(x) ~ 0 fiir Ixl .... ~oo, hinreichend rasch; man vergleiehe jedoch Beispiel 4.b in [12], § 2).…”