Elements for a classification of commutative radical Banach algebras

Michael’s problem and the Poincaré-Fatou-Bieberbach phenomenon

“…These elements, which of course are not invertible, are limits in a strong sense of invertible elements of A © Ce. They form a set which was rich enough to give a key for the second author's construction of discontinuous homomorphisms from ^(K) [42] (about discontinuous homomorphisms from ^(K) see also Dales' construction [29]). …”

DISTANCE ENTRE ÉlÉMENTS D'UN SEMI-GROUPE DANS UNE ALGÉBRE DE BANACH

“…C telles que yðs þ tÞ ¼ yðsÞyðtÞ pour s 2 K þ ; t 2 K þ ; K þ de´signant l'ensemble des e´lements strictement positifs d'un sous-corps K de R: On ve´rifie que si y n'est pas continu alors ou bien lim sup t!0 þ jyðtÞ À yðtðg þ 1ÞÞj ¼ 2; ou bien lim sup t!0 þ jyðtÞ À yðtðg þ 1ÞÞj ¼ þ1 pour tout g 2 K þ : Soit maintenant ða t Þ t2K þ un semi-groupe dans une alge`bre de Banach commutative A. 0n voit que si g 2 K þ ; et si lim sup t!0 þ rða t À a tðgþ1Þ Þo2; rða t À a tðgþ1Þ Þ de´signant le rayon spectral de a t À a tðgþ1Þ ; alors l'application t / fða t Þ est continue sur K þ pour tout f 2Â: Un deuxie`me ingre´dient tout a`fait e´le´mentaire de cet article est base´sur l'e´tude des variations de la fonction f : x / x À x gþ1 sur l'intervalle ½0; 1 pour g > 0: On voit que si d 20; une formule explicite pour calculer un tel idempotent, valable pour tout entier positif n: Cette formule coincide pour n ¼ 1 avec la formule donne´e par le premier auteur dans [6], et pour n ¼ 2 est plus maniable que la formule donne´e par le second auteur dans la partie non publie´e de sa the`se [11]. Nous renvoyons a` [4] pour la comparaison entre ces idempotents.…”

Prime-like Elements and Semi-direct Products in Commutative Banach Algebras

“…This paper continues an investigation of the structure of the radical of a commutative Banach algebra which was pioneered by G. R. Allan [1] and J. Esterle [6], and which the author continued in [11] and [12]. Our attempt here is both to unify some of the existing results by focusing our attention on non-nilpotent elements with prime-like properties in the radical, and to improve existing theorems, such as those in [12].…”

“…We require some definitions which have already been used productively in a number of places (see [1,6,11,12]). Definition 1.8.…”