Elementos de geometria Riemaniana: Análise da esfera <italic>S</italic>₂

Abstract

&lt;p&gt;Este artigo se propõe a expor conceitos de geometria riemanniana e aplicá-los a uma esfera em duas dimensões, a esfera &lt;italic&gt;S&lt;/italic&gt;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, que é a variedade riemanniana mais simples de construir. Assim, esse artigo visa dar subsídios suficientes aos estudantes de graduação em Física para que eles compreendam tais conceitos de geometria com o propósito de facilitar o estudo da teoria da relatividade geral. Da mesma forma, este artigo atende às necessidades de professores do Ensino Médio que queiram transpor didaticamente a geometria riemanniana a fim de ensinar os avanços obtidos no campo aos estudantes do Ensino Básico. Nesse sentido, introduzimos conceitos básicos como curvatura e construímos a variedade &lt;italic&gt;S&lt;/italic&gt;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, mostrando que a sua curvatura não é zero. Isso ilustra o arcabouço teórico da relatividade geral pois mostra como conceitos familiares da geometria euclidiana são alterados. Como exemplo mostramos como o teorema de Pitágoras é construído na variedade &lt;italic&gt;S&lt;/italic&gt;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.&lt;/p&gt;

Sobre ondas gravitacionais planas não-lineares

“…A presente seção não consiste uma revisão da Teoria da Relatividade Geral, apenas o estabelecimento de alguns conceitos geométricos que serão utilizados ao longo do resto do trabalho. Revisões didáticas da teoria e da geometria Riemanniana podem ser encontradas nas referências [25][26][27].…”

Estudo da transição BKT na pseudoesfera através da aproximação harmônica auto-consistente

“…Em espaços euclidianos, nomeadamente planos, temos o paralelismo como uma propriedade absoluta, cuja determinação é consequente do quinto postulado de Euclides.O exemplo mais intuitivo dessa noção geométrica é a soma vetorial[89]. Dois vetores ⃗ v 1 e ⃗ v 2 unidos (Figura 4.8a)) numa origem comum O podem ser transladados paralelamente um em relação ao outro mantendo sua orientação espacial e isto também se verifica para as derivadas vetoriais em configuração semelhante.…”