Elastic strain field due to an inclusion of a polyhedral shape with a non-uniform lattice misfit

Abstract

An analytical solution in a closed form is obtained for the three-dimensional elastic strain distribution in an unlimited medium containing an inclusion with a coordinate-dependent lattice mismatch (an eigenstrain). Quantum dots consisting of a solid solution with a spatially varying composition are examples of such inclusions. It is assumed that both the inclusion and the surrounding medium (the matrix) are elastically isotropic and have the same Young modulus and Poisson ratio. The inclusion shape is supposed to be an arbitrary polyhedron, and the coordinate dependence of the lattice misfit, with respect to the matrix, is assumed to be a polynomial of any degree. It is shown that, both inside and outside the inclusion, the strain tensor is expressed as a sum of contributions of all faces, edges and vertices of the inclusion. Each of these contributions, as a function of the observation point's coordinates, is a product of some polynomial and a simple analytical function, which is the solid angle subtended by the face from the observation point (for a contribution of a face), or the potential of the uniformly charged edge (for a contribution of an edge), or the distance from the vertex to the observation point (for a contribution of a vertex). The method of constructing the relevant polynomial functions is suggested. We also found out that similar expressions describe an electrostatic or gravitational potential, as well as its first and second derivatives, of a polyhedral body with a charge/mass density that depends on coordinates polynomially.

Аналитическое Выражение Для Распределения Упругой Деформации, Создаваемой Включением В Форме Многогранника С Произвольной Собственной Деформацией

“…Для этого мы применили метод, использованный нами в работах [21,5] и аналогичный методу Кувшинова [4]. А именно, мы представили требуемые выражения в виде комбинаций некоторых достаточно простых двумерных и одномерных интегралов по граням и ребрам поверхности включения.…”

“…Сложная трехмерная конфигурация поля упругой деформации (а также вектора смещения) сводится к комбинации простых функций α , L β и β , имеющих наглядную физическую и геометрическую интерпретацию. Следует заметить, что в случае гидростатической собственной деформации (ε (0) i j ∝ δ i j ) выражения для u(r) и ε i j (r) значительно упрощаются и приобретают вид, рассмотренный в статьях [21,5].…”

“…Круг задач, связанных с распределением деформации, индуцированной включением в упругой среде, изучается в течение более чем полувека [1,2], однако и в настоящее время появляются новые результаты (обзор современного состояния можно найти в работах [3][4][5][6]). Одним из важных применений задачи о включении является исследование электронных свойств полупроводниковых квантовых точек, образующихся в процессе эпитаксиального роста [7][8][9][10].…”

“…Для простоты мы рассмотрим лишь случай постоянной собственной деформации. Это, однако, не является ограничением метода: результаты нашей предыдущей работы [5] позволяют обобщить рассмотрение на случай плавно меняющейся в пространстве (полиномиальным образом) собственной деформации. В литературе имеются аналитические решения для случая постоянной собственной деформации [16,17], однако они чрезвычайно сложны и не допускают непосредственного обобщения на случай зависящей от координат собственной деформации.…”

Generating Function Method for Calculating the Potentials of Inhomogeneous Polyhedra

“…This expression provides also the Newtonian (gravitational) potential of a massive body with a given density distribution ρ(r). Applications of its analytical solutions range from astronomy [1][2][3] and geophysics [4][5][6][7] to the physics of microand nanostructures [8][9][10], as illustrated in Figure 1. Gravitational potentials of asteroids or gravity anomalies have straightforwardly the form of Eq.…”