Eisenstein cocycles in motivic cohomology

Sharifi, Romyar T.; Venkatesh, Akshay

doi:10.48550/arxiv.2011.07241

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“…Il est naturel de conjecturer que les relations (3) sont vérifiées pour tout nombre p premier. Un tel énoncé rappelle une conjecture de Busuioc [16] et Sharifi [57] ; la démonstration récente que Sharifi et Venkatesh [58] en ont donnée implique aussi que les relations (3) sont vérifiées pour tout p premier. 2 En plus de cela on aimerait relever l'application c en un symbole modulairenécessairement partiel, au sens de la thèse de Dasgupta, voir [5,22] -à valeurs dans M(C 2 /Z 2 ) plutôt que son quotient par les fonctions constantes.…”

Section: Un Théorème Et Quelques Questionsunclassified

“…Sharifi et Venkatesh [58] considèrent des analogues des fonctions m θ. Leur méthode permet en fait de construire des 1-cocycles sur des sous-groupes Γ de GL 2 (Z) à valeurs dans les groupes de K-théorie de degré 2 des corps de fonctions de C 2 /Z 2 ou du carré E 2 de la courbe elliptique universelle. Les 1-cocycles du premier type sont des applications de la forme Γ → K 2 (Q(C 2 /Z 2 )).…”

Section: Relations Avec Les Travaux De Kato Et De Sharifi-venkateshunclassified

“…RÉSUMÉ. De nombreux auteurs, parmi lesquels Stevens [61], Sczech [55], Nori [46], Solomon [59], Hill [36] ou plus récemment Charollois-Dasgupta-Greenberg [19,20], Beilinson-Kings-Levin [4] et Sharifi-Venkatesh [58], ont construit des cocycles différents, mais apparentés, de groupes linéaires que l'on appelle habituellement "cocycles d'Eisenstein". L'objectif principal de ce texte est de décrire une construction topologique qui est une source commune pour tous ces cocycles.…”

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“…ABSTRACT. Many authors, among which Stevens [61], Sczech [55], Nori [46], Solomon [59], Hill [36], or more recently Charollois-Dasgupta-Greenberg [19,20], Beilinson-Kings-Levin [4] and Sharifi-Venkatesh [58], have constructed different, but related, linear group cocycles that are usually referred to as "Eisenstein cocycles." The main goal of this work is to describe a topological construction that is a common source for all these cocycles.…”

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Cocycles de groupe pour GL$_n$ et arrangements d'hyperplans

Bergeron,

Charollois,

Garcia

2023

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TypeAdditive Multiplicative Elliptic 1-forms dz z n∈Z dz z+n λ∈Z+τ Z dz z+λwhere the above series have to be suitably regularised to make sense. These cocycles therefore reveal hidden relations between products of elementary functions as above, relations that are prescribed by the group homology of linear groups.5.1. Compactification de Satake 5.2. Compactification de Tits 5.3. Ensembles de Siegel généralisés 5.4. Comportement à l'infini de η 5.5. Symboles modulaires 5.6. Évaluation de η sur les symboles modulaires Chapitre 6. Cocycles de GL n (C) explicites 6.1. Forme simpliciale associée à η 6.2. Cocycle associé 6.3. Section simpliciale et homotopie 6.4. Calcul du cocycle 6.5. Démonstration du théorème 2.2 Chapitre 7. Séries d'Eisenstein associées à ψ 7.1. Quotients adéliques 7.2. Fonctions de Schwartz et cycles associés 7.3. Série theta adélique 7.4. Séries d'Eisenstein adéliques 7.5. Comportement à l'infini de E ψ (ϕ f ) 7.6. Évaluation de E ψ (ϕ f ) sur les symboles modulaires Chapitre 8. Cocycle multiplicatif du groupe rationnel GL n (Q) + 8.1. Forme simpliciale associée à E ψ 8.2. Les cocycles S mult,χ 0 , démonstration du théorème 2.3 8.3. Le cocycle S * mult Chapitre 9. Cocycle elliptique du groupe rationnel GL n (Q) + 9.1. Quotients adéliques 9.2. Fonctions de Schwartz et cycles 9.3. Séries theta et séries d'Eisenstein adéliques ; démonstration du théorème 2.8 9.4. Évaluation sur les symboles modulaires et démonstration du théorème 2.10 Annexe A. Cohomologie équivariante et complexe de de Rham simplicial A.1. Définition de la cohomologie équivariante A.2. La construction de Borel A.3. Formes différentielles simpliciales Annexe B. Classe d'Eisenstein affine et théorie de l'obstruction Bibliographie 14 INTRODUCTION : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET SYMBOLES MODULAIRESCette construction s'étend là encore à l'action de GL n (Z) sur le produit de n courbes elliptiques universelles ; voir chapitre 2. Les cocycles ainsi obtenus révèlent des relations cachées entre des produits de fonctions elliptiques classiques, relations gouvernées par l'homologie de sous-groupes de congruence dans GL n (Z). On peut tirer de cela un certain nombres de conséquences arithmétiques [6, 7] ; d'autres conséquences sont en préparation. RemerciementsCe texte est l'aboutissement d'une réflexion entamée il y a quelques années avec Akshay Venkatesh. Plusieurs idées sont issues de discussions avec lui (ainsi que l'impulsion d'écrire en français), un grand merci à lui pour sa générosité.De toute évidence, ce travail doit beaucoup aux idées initiées et développées par Robert Sczech. Nous profitons de cette occasion pour lui exprimer notre gratitude.P.C. remercie Samit Dasgupta pour lui avoir posé une question étincelle il y a 10 ans.L.G. remercie l'IHES et le soutien de l'ERC de Michael Harris durant les premiers temps de ce projet.N.B. tient à remercier Olivier Benoist pour de nombreuses discussions autour du chapitre 3.Merci à Emma Bergeron pour les dessins. Enfin, c'est un plaisir de remercier Henri Darmon, Clément Dupont, Javier Fresan,...

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Section: Un Théorème Et Quelques Questionsunclassified

Section: Relations Avec Les Travaux De Kato Et De Sharifi-venkateshunclassified

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Cocycles de groupe pour GL$_n$ et arrangements d'hyperplans

Bergeron,

Charollois,

Garcia

2023

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“…Such a cocycle is often called the Eisenstein cocycle. Actually many different kinds of Eisenstein cocycles have been constructed and studied by Harder [11], Sczech [23], Nori [21], Solomon [26], Hill [15], Vlasenko-Zagier [28], Charollois-Dasgupta-Greenberg [6], Beilinson-Kings-Levin [3], Bergeron-Charollois-Garcia [4], Flórez-Karabulut-Wong [9], Lim-Park [20], Bannai-Hagihara-Yamada-Yamamoto [1], Sharifi-Venkatesh [24], and so on, and various applications have been obtained.…”

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Shintani-Barnes cocycles and values of the zeta functions of algebraic number fields

Bekki¹

2021

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In this paper, we construct a new Eisenstein cocycle called the Shintani-Barnes cocycle which specializes in a uniform way to the values of the zeta functions of general number fields at positive integers. Our basic strategy is to generalize the construction of the Eisenstein cocycle presented in the work of Vlasenko and Zagier by using some recent techniques developed by Bannai, Hagihara, Yamada, and Yamamoto in their study of the polylogarithm for totally real fields. We also closely follow the work of Charollois, Dasgupta, and Greenberg. In fact, one of the key ingredients in this paper which enables us to deal with general number fields is the introduction of a new technique called the "exponential perturbation" which is a slight modification of the Q-perturbation studied in their work. Contents 1. Introduction 1 2. Preliminaries 3 3. The space Y • and the sheaves F d , F Ξ d 7 4. Equivariant cohomology 12 5. Cones and the exponential perturbation 20 6. Construction of the Shintani-Barnes cocycle 26 7. Integration 30 8. Specialization to the zeta values 36 References 48

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Eisenstein cocycles in motivic cohomology

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