Eine Verallgemeinerung des Satzes von Castelnuovo-Severi.

Abstract

Es seien C und C glatte, projektive Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K, und F=CxC" die Produktfläche der beiden Kurven. Die Gruppe Pic K ( = Picardgruppe von F) der Divisorenklassen von V besitzt nach Weil [40] und Roquette [30] eine kanonische quadratische Form, die durch o(D) = 2 · degD · deg'D -(D -D) definiert wird. Hierbei bezeichnet (D-E)el die Schnittzahl zweier Divisoren(klassen) von F, und degD bzw. deg'Z) den Grad von D über C bzw. über C, d.h. deg/) =(D-CxP f ), mit P' € C, ) = (Z)-PxC'), mit P e C.Bekanntlich hängt degZ) bzw. deg'Z) nicht von der Wahl des Punktes P' e C' bzw. P e C ab. Die quadratische Form , oder genauer, deren zugehörige Bilinearform heißt Weilsche Metrik (auf Div F ). Definitionsgemäß ist ( ))=0, wenn D^AxC' + CxA', wobei yl bzw. A' Divisoren von C bzw. C sind. Der klassische Satz von Castelnuovo-Severi besagt nun, daß nur für solche Divisoren verschwindet, und daß sonst a(D)>Q ist: Satz l (Castelnuovo-Severi). Die quadratische Form ist positiv, d.h. es gilt Ofür alle Z>ePic K . Darüber hinaus ist (£>)=0 genau dann, wenn D^AxC + CxA', mit A bzw. A' Divisor von C bzw. von C. Grundlegend für diese Verallgemeinerung ist die Roquettesche Interpretation (Roquette [30]) des Schnittprodukts. Diese besteht darin, die Fläche F=CxC relativ zu einer Basiskurve, sagen wir C, zu betrachten, und das Schnittprodukt zweier Divisoren(klassen) D und E von V als Divisor D.E der Basis zu definieren. Dieser Divisor, der bei Roquette [30] Divisorenrest von D bezüglich E genannt wird, ist in moderner Sprechweise nichts anderes als n^({D.E}), wobei : F-»C" die Projektion, und {D.E} den Schnittzykel der Codimension 2 von D und E im Chowring von V bezeichnet; vgl. Hartshorne [12], S. 424-426, Manin [22].) Durch Anwendung der Gradfunktion erhalten wir dann das gewöhnliche Schnittprodukt auf F: (D-E) =deg c ,/X£.