Eine verallgemeinerte Lipschitzbedingung als Eindeutigkeitskriterium bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Abstract

Wir betrachten das Anfangswertproblem(1)Eindeutige Auflosbarkeit von (1) sichern die LrPscmz-Bedingung und ihre Verallgemeinerungen (s. HARTMAN 1964, LAESHMJJUNund LEELA 1969), diey)I in Abhlingigkeit von 1z -yI beschriinken. Eine andere Eindeutigkeitsbedingung gab RUDIN 1982: 1st (1) autonom und f : R + R+ stetig, SO ist (1) eindeutig losbar. In der vorliegenden Note werden die beiden genannten Typen vereinheitlicht dargestellt. Dazu verwenden wir eine abgeschwiichte I ; r P s m z -B e d i n g g , mit der Feldiinderungen unter Einbeziehung der Zeit abgeschlitzt werden. Restriktionen sind nur entsprechend ,,Stetigkeit von f" im Falle der klassischen LXPSCEUTZ-3edingung, ,,Positivheit von r' im Falle von Rudins Bedingung vorauszusetzen. Wir zeigen : Sei gegeben (1) mil f E C[9, R], 9 c R x T offen, (to, zo) E 9. Es gebe dt, d, E R mi8 (i) $*+ dz f 0, (ii) d, f f ( t , z) dt in 9 und (iii) fiir kmtantes L und jedes k E R If(t, z)f ( t + kd;, z + kdJ( S L lkl, falls die Argumente von f in Q Ziegen. So hut (1) hcichstem eine L6mng. 2.Wir werden die Eindeutigkeit nur fur t > to zeigen, da der Beweis fur t < t, analog verliiuft. Seien z(t), y ( t ) zwei Losungen von (l), die sich an einer Stelle t > to unterscheiden . (I) Unter den Voruussetzz~ngen aus 1. ist (2, ~( t kdt) = ~( t ) kd, eindeutig w h k = k(t) auf16sbarJ sofern nur t hinreichencE nahe bei to liegt. Falls d, = 0, 80 ist wegen (i) d, f 0 und (2) nach k'auflosbar. Falls dt =+ 0, so ist nach (ii) If(t, z)d,/d;l > 0 in Q, insbesondere an der Stelle (to, zo). Wegen der Stetigkeit von f existiert eine Z7,(to, 5) und ein 7 > 0, daB 13)

A Lipschitz condition along a transversal foliation implies local uniqueness for ODEs

“…A more general result had been proved before by Stettner and Nowak, [14], but in a paper restricted to German readers. They proved that if U ⊂ 2 is an open neighborhood of (t 0 , x 0 ), f : U ⊂ 2 → is continuous and (u 1 , u 2 ) ∈ 2 such that…”