Ein lokaler Fundamentalsatz f�r Projektionen

Abstract

A projection is a mapping between linear spaces, which preserves collinearity, and whose restriction to any line is injective or constant. Motivated by applications in photogrammetry, we prove that any projection from a subset M of a (little) Desarguesian projective space to another such space is a product of a central projection and an isomorphism, provided M is not too small and the image of M is not contained in one line. 1. EINLEITUNG Photographische Bilder werden meist als Resultate von Zentralprojektionen angesehen. Dies ist gerechtfertigt fiir Bilder einer Lochkamera; bei einer Kamera mit Objektiv jedoch weicht die Abbildung gew6hnlich etwas vonder Zentralprojektion ab. Im Idealfall l~iBt sich diese Verzeichnung genannte Abweichung bestimmen, so dab man sie bei einer Bildauswertung rechnerisch ausgleichen kann. Einige Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Verzeichnung werden in [13] beschrieben. Nun sind aber viele Rekonstruktionsaufgaben schon unter der Voraussetzung 16sbar, dab die photographische Abbildung durch eine lineare Abbildung f: ~4 ~ ~3 gegeben ist, wenn man sowohl im abgebildeten Raum als auch in der Bildebene homogene Koordinaten einfiihrt. Man kann n~imlich f bestimmen, wenn man sechs PaBpunkte im Raum, keine vier davon in einer Ebene, samt ihren Bildpunkten kennt und die Kamera sich nicht auf der kubischen Normkurve durch die PaBpunkte befindet (siehe [2] und [7] sowie §4 der vorliegenden Arbeit). Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die Bedeutung des folgenden Satzes. SATZ 3. Seien P und P' reelle projektive Rdume, M ~ P often und ~o: M ~ P' eine Abbildung derart, dab die Bilder kollinearer Punkte stets kollinear sind, die Einschrfinkung yon q) auf Geraden injektiv oder konstant ist und Bild q~ drei nicht kollineare Punkte enthfilt. Dann wird q) in homogenen Koordinaten durch eine lineare Abbildung induziert. Dieser Satz wurde f/Jr den Fall dimP < m von H. Lenz [16, Hilfssatz 3] bewiesen. Seine Behauptung folgt auch aus [17, Theorem], wenn man zus~itzlich dim P --dim P' < mund ~o stetig und injektiv voraussetzt; sie folgt aus [4, Satz 1] oder [20, Satz 2.3], falls es einen Teilraum Z c P mit M = P\Z gibt und die Bilder yon Geraden und punktierten Geraden stets Geraden oder Punkte sind. Da mir die Arbeit yon H. Lenz unbekannt war, suchte und Geometriae Dedicata 44: 53-66, 1992.

Dualities and endomorphisms of pseudo-cones

“…We need the following lemma which is called the main theorem in affine geometry in [1]. For details and proofs, see [10,11,15,20]. Lemma 4.1.…”

“…ΞΦ(f (a)) ∈ f (a) = ϕ(a). By the closeness of ϕ({λa + µc ∈ R n : λ ∈ R, µ ∈ [1, +∞)}) and (11), there is some ε 1 > 0 such that…”

On orthogonality-preserving plücker transformations of hyperbolic spaces

“…We already know that ϕ is induced by a collineation ψ : H → H. Using the terminology of [6], such a collineation can be extended to a projection ψ : H → Π.…”

“…Since H is not contained in a hyperplane, span H ψ = span H = Π. The induced topologies on the lines of Π form a linear topology in the sense of [6]. Under the collineation ψ hyperplanes are mapped onto hyperplanes.…”

Automorphisms of Hilbert's non-desarguesian affine plane and its projective closure

“…Convex and non-convex images of the interior under inversion We are going to use a local version of the Fundamental Theorem for (open subplanes of) the real projective plane ([14, Hilfssatz 2], see[15] and[6] for generalizations). Then ι(J ) is open in R 2 , and ι induces an isomorphism ι| J from the open subplane of H induced on J onto the open subplane of the real projective plane induced on ι(J ).…”