Ein axiomatischer Aufbau der mindestens 3-dimensionalen M�bius-Geometrie

Mäurer, Helmut

doi:10.1007/bf01114995

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“…A Möbius space is called ovoidal if it is isomorphic to a Möbius space derived from an ovoid in this way. By Mäurer [7] each Möbius space of at least dimension 3 is ovoidal. A Möbius space is called miquelian if it is the geometry of plane sections of a non-ruled quadric.…”

Section: Preliminariesmentioning

confidence: 99%

“…For a collineation α of (P, G) with α(O) = O, the restriction α| O : O → O is an automorphism of the Möbius space (O, K) and by Mäurer [7] we have: …”

Section: Dilatations Of Ovoidal Möbius Spacesmentioning

confidence: 99%

“…Since each at least three-dimensional Möbius space is ovoidal (cf. [7]) we start in our investigations from an ovoidal Möbius space such that we include ovoidal Möbius planes as well. In 1975 Yaqub [8] studied strongly ovoidal Möbius planes admitting an automorphism group of type II.2.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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On Möbius Spaces Admitting Automorphism Groups of Type II.2

Kroll

Taherian

2011

Results. Math.

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In 1987 the first author extended C. Hering's classification for Möbius planes (cf. Hering in Math Z 87:252-262, 1965) to higher dimensional Möbius spaces (cf. Kroll in Result Math 12:357-365, 1987). Actually the classification was done for groups of automorphisms of a Möbi-us space. In this paper we are concerned with Möbius spaces admitting a group of type II.2. Our main result is a generalization of a result of Yaqub (Math Z 142:281-292, 1975, Theorem 1).Mathematics Subject Classification (2010). Primary 51F15; Secondary 20N05.

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Section: Preliminariesmentioning

confidence: 99%

“…For a collineation α of (P, G) with α(O) = O, the restriction α| O : O → O is an automorphism of the Möbius space (O, K) and by Mäurer [7] we have: …”

Section: Dilatations Of Ovoidal Möbius Spacesmentioning

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On Möbius Spaces Admitting Automorphism Groups of Type II.2

Kroll

Taherian

2011

Results. Math.

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“…Nach Mfiurer [11] ist jede mindestens 3-dimensionale M6bius-Geometrie halbovoidal, d.h. eine Geometrie der linearen Schnitte (kurz: Schnittgeometrie) eines Halbovoids. Spezialf/ille sind die ovoidalen und miquelschen M6bius-Geometrien, d. s. Schnittgeometrien eines Ovoids bzw.…”

unclassified

“…Die Beschreibung zykelgeometrischer Idealunterr~iume verl~iuft teilweise analog zu Hartmann [7], und die zur Einbettung der Zykelgeometrie in einen projektiven Raum erforderlichen f0berlegungen k6nnen yon M~iurer [11] bzw. [12] iibernommen werden.…”

unclassified

Schnitt- und Zykelgeometrien

Dienst

1977

Geom Dedicata

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In der vorliegenden Arbeit werden Zykelgeometrien -zu denen auch M6bius-, Laguerre-und (geringftigig variierte) Minkowski-Geometrien z/ihlen -axiomatisiert. Nach Mfiurer [11] ist jede mindestens 3-dimensionale M6bius-Geometrie halbovoidal, d.h. eine Geometrie der linearen Schnitte (kurz: Schnittgeometrie) eines Halbovoids. Spezialf/ille sind die ovoidalen und miquelschen M6bius-Geometrien, d. s. Schnittgeometrien eines Ovoids bzw. einer Quadrik. Analog gilt nach Hartmann [7], dab auch jede mindestens 3-dimensionale Laguerre-Geometrie halbovoidal, d. h. eine Schnittgeometrie eines Halbovoids mit Radikal ist. Schliel31ich ist die Schnittgeometrie eines Hyperboloids in einem 3-dimensionalen projektiven Raum bekanntlich eine Minkowski-Ebene, wenn man Schnitte mit Tangentialebenen ausschlieBt. Will man also Zykelgeometrien definieren und untersuchen, welche dieser Geometrien Schnittgeometrien sind, so mug man die Begriffe Halbovoid, Halbovoid mit Radikal, Hyperboloid und damit auch Ovoid, Quadrik und hermitesche Quadrik verallgemeinern. In nattirlicher Weise bietet sich dabei der Begriff'hermitesche Menge' an. Eigenschaften von hermiteschen Mengen sind in § 1 zusammengestellt.Der Verband der Unterr~iume einer M6bius-Geometrie, die einen festen Punkt enthalten (die sog. 'abgeleiteten Strukturen'), sind stets affine R~iume. Im Falle der Laguerre-Geometrie sind die abgeleiteten Strukturen sogenannte geschlitzte affine Rfiume. Da die abgeleiteten Strukturen entscheidend zur Axiomatisierung herangezogen werden, mtissen auch die Begriffe affiner Raum und geschlitzter affiner Raum verallgemeinert werden, was zu dem Begriff des 'singul/iren Raums' ftihrt. Singul/ire R~iume werden in § 2 eingeftihrt und untersucht.In § 3 werden Schnitt-und Zykelgeometrien definiert und es werden einige Eigenschaften hergeleitet; u.a. dab jede Schnittgeometrie eine Zykelgeometrie ist. Um umgekehrt zu beweisen, daB jede mindestens 3-dimensionale Zykelgeometrie eine Schnittgeometrie ist, folgen in § 4 Definitionen und Untersuchungen zykelgeometrischer Idealunterr/iume. In § 5 wird der Verband ~ der zykelgeometrischen Idealunterrfiume zun/ichst zu einem Verband f~ erweitert und in § 6 erfolgt die Einbettung einer (mindestens 3-dimensionalen) Zykelgeometrie in einen projektiven Raum.SchlieBlich zeigen wir in § 7, wodurch die M6bius-, Laguerre-und Minkowski-Geometrien unter den Zykelgeometrien gekennzeichnet werden k6nnen, und wir geben an, welche Schnittgeometrien quadrikal bzw. hermitesch quadrikal sind.

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Inversive Geometry

Wilker

1981

The Geometric Vein

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Ein axiomatischer Aufbau der mindestens 3-dimensionalen M�bius-Geometrie

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On Möbius Spaces Admitting Automorphism Groups of Type II.2

On Möbius Spaces Admitting Automorphism Groups of Type II.2

Schnitt- und Zykelgeometrien

Inversive Geometry

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