Ein algebraischer Begriff des invarianten Maßes und invariante Integration in abstrakten Räumen

Abstract

Der in der Arbeit[ 11 eingefuhrte Begriff der abstrakten bzw. allgemeinen Polyederstruktur stellt den algebraischen Hintergrund dar fur die verschiedenen Verallgemeinerungen, welche die Zerlegungstheorie euklidischer Polyeder im Zusammenhang mit Fragen der Inhalts-und MaBtheorie in den letzten Jahrzehnten erfahren hat. Dabei handelt es sich im wesentlichen um Strukturen vom Typ (P, + , -), wo P eine Menge mit der binhen Verknupfung + und -ein uber P erkliirter Aquivalenzbegriff ist. Zur Untersuchung solcher Strukturen wird die im allgemeinen von der Operation + unabhangige Aquivalenzrelation zu einer Zerlegungsgleichheit verallgemeinert, die mit + vertraglich ist. Ein wichtiges Problem hesteht dann in der Angabe von notwendigen und hinreichenden Bedingungen fur die Zerlegungsgleichheit zweier Elemente aus P. Diese Frage wurde in [ 11 mit sogenannten P-Abbildungen in gewisse Halbgruppen gelost. Unter diwen P-Abbildungen sind die reellwertigen von besonderem Interesse, da sie als invariante MaBe uber P aufgefaBt werden konnen. Der Invarianzhegriff bezieht sich darauf, daB zwei aquivalenten Elementen aus P dieselbe reelle Zahl zugeordnet werden soll. Die Aquivalenz kann dabei gleichwertig durch eine kpivalenzrelation -iiber P oder eine Transformationsgruppe G uber P gegeben sein (vgl. [l], S. 61). Die Existenz des gewohnlichen invarianten MaBes von Punktmengen hangt dann wesentlich von der Struktur der Gruppe G ah, wie wohl zuerst die Untersuchungen von J. v. NEUMANN [3] gezeigt haben. Das geometrische PunktmengenmaB bezidht sich dabei auf die mengentheoretischen Operationen der Durchschnitts-und Vereinigungsbildung. Dagegen bezieht sich die Additivitat des P-MaBes auf eine beliebige, die ,,Algebra" (P, + , N ) charakterisierende, Operation + . Insofern ist dieser MaBbegriff algebraisch. Ohne Berucksichtigung von Invarianzforderungen hat A. TARSKI [5] eine ,,algebraische Fassung des MaBproblems" angegeben und Kriterien fur die Existenz eines Homomorphismus einer kommutativen Halbgruppe in die Halbgruppe der nichtnegativen reellen Zahlen gefunden. Unter Ausnutzung dieses Ergebnisses und durch eine Modifilration der TARsluschen Methode so11 im folgenden die Frage nach der Existenz invarianter P-MaBe vollstandig beantwortet werden (Abschnitt 2). Dabei soll von moglichst schwachen Voraussetzungen aus-209