Effect of Far-Field Boundary Conditions on Boundary-Layer Transition

Abstract

The eect of far-eld boundary conditions on the evolution of a niteamplitude two-dimensional wave in the Blasius boundary layer is assessed. With the use of the parabolized stability equations (PSE) theory for the numerical computations, either asymptotic, Dirichlet, Neumann or mixed boundary conditions are imposed at various distances from the wall. The results indicate that asymptotic and mixed boundary conditions yield the most accurate mean-ow distortion and unsteady instability modes in comparison with the results obtained with either Dirichlet or Neumann conditions.

Asymptotic boundary conditions for the analysis of hydrodynamic stability of flows in regions with open boundaries

“…Введение Известно, что моды дискретного спектра, являющиеся наиболее значимыми возмущениями в задачах гидродинамической устойчивости, пренебрежимо малы лишь вдали от сдвигового пограничного слоя (см., напр., [1]). Поэтому в настоящее время широко используется подход, при котором расчетная область выбирается достаточно большой (порядка десяти толщин пограничного слоя и выше) и на ее границе ставят однородные граничные условия для возмущения, либо его производной, либо их линейной комбинации [5]. Этот метод прост в реализации, но его отличает существенный эмпиризм, так как в каждом случае требуется подбирать достаточный размер расчетной области экспериментально.…”

“…Различают задачи временной и пространственной устойчивости. В случае анализа временной устойчивости -произвольное фиксированное вещественное число, а -комплексные частоты, подлежащие определению из системы (6), (5). Эта система является проблемой собственных значений, в которой играет роль собственного значения, а ( , , ) ̸ = 0отвечающей ему собственной функции.…”

“…Отметим, что не только описанная выше, но любая другая пространственная аппроксимация проблемы (6), (5) приведет (в некоторых случаях после несложных алгебраических преобразований) к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений вида (10). Если для аппроксимации применять методы галеркинского типа, основанные на слабой постановке проблемы (6), (5), то матрицы и будут взаимно сопряженными, а конечномерный аналог второй производной, входящий в матрицу , будет эрмитовым отрицательно определенным. Это делает обобщенную алгебраическую проблему (10) полностью адекватной исходной проблеме (6), (5).…”

“…Если для аппроксимации применять методы галеркинского типа, основанные на слабой постановке проблемы (6), (5), то матрицы и будут взаимно сопряженными, а конечномерный аналог второй производной, входящий в матрицу , будет эрмитовым отрицательно определенным. Это делает обобщенную алгебраическую проблему (10) полностью адекватной исходной проблеме (6), (5). В частности, это позволяет, спроектировав проблему (10) на подпространство соленоидальных сеточных функций, свести ее к обыкновенной алгебраической проблеме собственных значений, имеющей в качестве спектра множество конечных собственных значений исходной проблемы.…”

“…Описанный выше простейший вариант метода коллокаций не позволяет получить обобщенную алгебраическую проблему (10), в точности обладающую всеми основными свойствами исходной проблемы (6), (5). Однако, как показывает практика, такая аппроксимация ввиду ее малой погрешности позволяет получать вполне адекватные результаты, во всяком случае для задач, связанных с исследованием устойчивости пограничных слоев и определения в них положения ламинарно-турбулентного перехода (смотри, например, [12,13,23]).…”