Duality in spaces of p-integrable functions with respect to a vector measure.

Abstract

CERTIFICA que la presente memoria Duality in spaces of p−integrable functions with respect to a vector measure ha sido realizada bajo mi dirección en el Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Valencia, por IRENE FERRANDO PALO-MARES y constituye su tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas.Y para que así conste, en cumplimiento con la legislación vigente, presentamos ante el Departamento de Matemáticas de la Universidad Politécnica de Valencia, la referida Tesis Doctoral, firmando el presente certificado. ResumenLa tesis tiene como objetivo principal el estudio de la dualidad vectorial entre los espacios L p (m) y L q (m) de funciones integrables con respecto a una medida vectorial con valores en un espacio de Banach X, con p, q > 1 exponentes reales conjugados. La clave de la dualidad es la definición de una forma bilineal Φ :Mediante esta forma bilineal se definen dos topologías intermedias para el espacio L p (m). La más débil es la topología m−débil, que corresponde a la topología de la convergencia débil de la integrales. Además de estudiar sus propiedades, se prueba que para p > 1 esta topología coincide con la débil del espacio L p (m). La importancia de este resultado radica en que, al no conocerse una representación concreta del dual del espacio L p (m), es muy interesante describir la convergencia débil en términos de la convergencia débil de las integrales en el espacio de Banach X. La m−topología corresponde a la convergencia fuerte de las integrales en X, y puede coincidir en casos extremos con la débil y con la fuerte de L p (m). Se estudian sus propiedades, en particular se dan condiciones para asegurar que un subconjunto de L p (m) sea m−compacto.Estas topologías, en particular la m−débil, son útiles para la descripción del predual del espacio L p (m) en términos de productos tensoriales. Esta construcción se describe de forma detalla en el tercer capítulo de la memoria de la tesis. Cabe destacar de éste un resultado que caracteriza aquellos operadores definidos en L p (m) con rango en X que se pueden escribir como una integral. Aunque sin duda el resultado más relevante es el que, bajo cierta hipótesis de compacidad de la bola unidad (equivalente a la reflexividad del espacio L p (m)) ofrece una representación de L p (m) como el dual del producto tensorial L q (m) ⊗ X * , dotado de una norma. Este resultado es clave para obtener una generalización de los resultados de dualidad para los espacios clásicos de funciones p−integrables.La m−topología permite definir un concepto de sumabilidad en L p (m) basada en la dualidad vectorial, los llamados operadores m − r−sumantes IX X definidos en espacios de funciones integrables con respecto a una medida vectorial, que se estudian en el cuarto capítulo. Esta definición generaliza la sumabilidad clásica. Se estudian las propiedades de estos operadores, y se presentan ejemplos que ponen de manifiesto su interés. En la misma línea que en la teoría clásica, obtenemos teoremas de dominación y de factorización. La...

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“…The use of finite elements modelling to determine the 2D temperature map in the layer becomes mandatory in these situations. Details of these small corrections can be found elsewhere [35].…”