Distribution Function Inequalities for Martingales

Burkholder, D. L.

doi:10.1214/aop/1176997023

Cited by 669 publications

(359 citation statements)

References 0 publications

Supporting

Mentioning

345

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…This is exactly what the Burkholder-Davis-Gundy inequality [10] would give us for sums of independent random variables (although in this case, it can be derived by easier methods). In the remainder of this section, we give very short overviews of Stein's method and concentration of measure.…”

Section: Proposition 14 Let R Be the Maximum Degree Of The Dependenmentioning

confidence: 53%

See 1 more Smart Citation

Stein’s method for concentration inequalities

Chatterjee

2006

Probab. Theory Relat. Fields

148

131

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. We introduce a version of Stein's method for proving concentration and moment inequalities in problems with dependence. Simple illustrative examples from combinatorics, physics, and mathematical statistics are provided. Introduction and resultsStein's method was introduced by Charles Stein [38] in the context of normal approximation for sums of dependent random variables. Stein's version of his method, best known as the "method of exchangeable pairs", attained maturity in his later work [39]. A reasonably large literature has developed around the subject, but it has almost exclusively developed as a method of proving distributional convergence with error bounds. Stein's attempts at getting large deviations in [39] did not, unfortunately, prove fruitful. Some progress for sums of dependent random variables was made by Raič [33]. A general version of Stein's method for concentration inequalities was introduced for the first time in the Ph.D. thesis [11] of the present author. The purpose of this paper is to explain the theory developed in [11] via examples. Another application is in [12].This section is organized as follows: First, we give three examples, followed by the main abstract theorem; finally, towards the end of the section, we present very condensed overviews of Stein's method, concentration of measure, and the related literature. Proofs are in section 2.1.1. A generalized matching problem. Let {a ij } be an n × n array of real numbers. Let π be chosen uniformly at random from the set of all permutations of {1, . . . , n}, and let X = n i=1 a iπ(i) . This class of random variables was first studied by Hoeffding [24], who proved that they are approximately normally distributed under certain conditions. It is easy to see that various well-studied functions of random permutations, like the number of fixed points, the sum of a random sample picked without replacement from a finite population, and the function i |i−π(i)| (known as Spearman's footrule [16]), are all instances of Hoeffding's statistic.2000 Mathematics Subject Classification. 60E15; 60C05; 60K35; 82C22.

show abstract

Section: Proposition 14 Let R Be the Maximum Degree Of The Dependenmentioning

confidence: 53%

“…For a general exposition about the famous Burkholder-Davis-Gundy martingale inequalities we refer to the article by Burkholder [10].…”

Section: Introduction and Resultsmentioning

confidence: 99%

Stein’s method for concentration inequalities

Chatterjee

2006

Probab. Theory Relat. Fields

148

131

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…E ω (Z n ) − nV is a mean-zero martingale with increments E ω g(TZ k ω) relative to the filtration H n = σ{ω k : 0 ≤ k < n}. By the Burkholder-Davis-Gundy inequality [7],…”

Section: Proof Of Lemma 52mentioning

confidence: 99%

The Random Average Process and Random Walk in a Space-Time Random Environment in One Dimension

Balázs

Rassoul-Agha

Seppäläinen

2006

Commun. Math. Phys.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. We study space-time fluctuations around a characteristic line for a onedimensional interacting system known as the random average process. The state of this system is a real-valued function on the integers. New values of the function are created by averaging previous values with random weights. The fluctuations analyzed occur on the scale n 1/4 where n is the ratio of macroscopic and microscopic scales in the system. The limits of the fluctuations are described by a family of Gaussian processes. In cases of known product-form invariant distributions, this limit is a two-parameter process whose time marginals are fractional Brownian motions with Hurst parameter 1 4 . Along the way we study the limits of quenched mean processes for a random walk in a space-time random environment. These limits also happen at scale n 1/4 and are described by certain Gaussian processes that we identify. In particular, when we look at a backward quenched mean process, the limit process is the solution of a stochastic heat equation.

show abstract

“…The result follows by first applying Markov's inequality and then Burkholder's inequality, see [25,Theorem 3.2], on the zero mean random walk …”

Section: Assumption 33mentioning

confidence: 99%

Asymptotic analysis of network structures: degree-degree correlations and directed paths

Hoorn

View full text Add to dashboard Cite

Opgedragen aan mijn neefje Wouter: Iter tibi prosperitate scientiaque obseratur et aetas amore sapientiaque plena sit. VoorwoordGeen enkele uitzonderlijke prestatie is het werk van slechts één persoon. En hoewel ik, met betrekking tot dit proefschrift, geen uitspraak zal doen over het eerste deel van dit statement, is het tweede deel absoluut waar. Ik wil dan ook graag iedereen bedanken die hieraan op een of andere manier heeft bijgedragen. Sommige mensen wil ik in het bijzonder noemen en daarvoor zal ik deze pagina's gebruiken. Toen ik, iets meer dan vier jaar geleden, in de zomer van 2012 besloot om een PhD te doen, was ik niet helemaal zeker van mij zaak, gezien het feit dat ik al een jaar geen wiskunde meer bedreven had. Voor mijn interview in Enschede was ik dan ook erg zenuwachtig. Helemaal omdat het hier zelfs over een onderwerp ging waar ik nog nooit iets mee gedaan had gedurende mijn tijd als student. Richard, dank je dat je mij deze kans hebt gegeven, voor je vertrouwen in mij als onderzoeker en het opnemen van mij in je groep. Ik zal altijd met veel plezier terugdenken aan mijn tijd in Twente.Voor mijn dagelijkse begeleiding kon ik terecht bij Nelly. Ik weet nog goed dat ze mij tijdens ons eerste overleg meteen vertelde dat ze hele hoge verwachtingen van me had. Ik kan alleen maar hopen dat ik daar ergens in de buurt van ben gekomen. Maar Nelly, jij bent mijn verwachtingen als begeleider meer dan overstegen. Het voelt ergens vreemd om dit in het Nederlands te schrijven. Ondanks het feit dat je deze taal goed beheerst communiceren wij namelijk altijd met elkaar in het Engels. De stewardess van de KLM begreep er in ieder geval niets van. Jij was altijd heel duidelijk in wat je van me verwachtte en had altijd een plan klaar, hoewel dit laatste vaak erg flexibel was. Je gaf me de vrijheid om mijn onderzoek in te richten en liet me vaak mijn gang gaan, waar je hulp bood als ik dat nodig had. Maar je was ook streng, direct en ondubbelzinnig op de momenten dat dit moest. Naast een meer dan uitstekende begeleider ben je een ook een hele goede vriendin van me geworden. Ik heb ontzettend genoten van de conferenties die wij samen hebben bezocht en alle avonturen die wij hebben beleefd. Ik hoop dan ook dat wij nog heel lang vrienden zullen blijven. Maar nu zal ik verder gaan, voordat je me weer vertelt dat ik als een meisje schrijf.Gedurende mijn PhD heb ik de mogelijkheid gehad om twee onderzoeksstages in het buitenland te doen en daar ben ik heel dankbaar voor.Mariana, thank you for inviting me to Columbia. It was my first time collaborating with someone other than my supervisor and I more than appreciated the opportunity you gave me. When writing this thesis, especially when dealing with some technical proofs, I realized how much I learned from you in only these vii Asymptotic analysis of network structures: degree-degree correlations and directed paths two weeks. I also want to thank you for being part of my defense committee and reading my thesis. I hope to continue our collaboration in the future and learn ...

show abstract

Distribution Function Inequalities for Martingales

Cited by 669 publications

References 0 publications

Stein’s method for concentration inequalities

Stein’s method for concentration inequalities

The Random Average Process and Random Walk in a Space-Time Random Environment in One Dimension

Asymptotic analysis of network structures: degree-degree correlations and directed paths

Contact Info

Product

Resources

About