Dissipative generators, divisible dynamical maps, and the Kadison-Schwarz inequality

Abstract

We introduce a concept of Kadison-Schwarz divisible dynamical maps. It turns out that it is a natural generalization of the well known CP-divisibility which characterizes quantum Markovian evolution. It is proved that Kadison-Schwarz divisible maps are fully characterized in terms of time-local dissipative generators. Simple qubit evolution illustrates the concept.

How to design quantum-jump trajectories via distinct master equation representations

“…Then Λ t is P-divisible provided that γ 1 (t), γ 2 (t) ≥ |γ 3 (t)|. Dissipativity requires the stronger condition [63] that γ 1 (t), γ 2 (t) ≥ 2|γ 3 (t)|. Interestingly, it turns out that whenever γ 3 (t) < 0 the map J t (ρ) =…”

Characterization of Bistochastic Kadison-Schwarz Operators on $M_2(\mathbb C)$

“…Можно проверить, что эта функция достигает максимума на границе области 0 ≤ x + y ≤ 1. Используя соображения из [8], заключаем, что если Представляют интерес условия, при которых оператор T (λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) является вполне положительным. Приведем эти условия.…”

“…К сожалению, как и для вполне положительных отображений, для операторов КШ отсутствует явное приемлемое описание. Совсем недавно в [8,27,28] были описаны бистохастические операторы КШ из M 2 (C) в себя, но в целом проблема все еще остается открытой. Кроме того, полученные результаты позволили исследовать понятие делимых по Кадисону-Шварцу динамических отображений [7,8].…”

“…Совсем недавно в [8,27,28] были описаны бистохастические операторы КШ из M 2 (C) в себя, но в целом проблема все еще остается открытой. Кроме того, полученные результаты позволили исследовать понятие делимых по Кадисону-Шварцу динамических отображений [7,8]. Было доказано, что делимые по Кадисону-Шварцу отображения полностью характеризуются в терминах локальных по времени диссипативных генераторов.…”

Witnessing non-Markovian effects of quantum processes through Hilbert-Schmidt speed

“…CP-divisibility is the most common definition for Markovianity in open quantum systems [1,4]. A dynamical map {E t } t≥0 is defined as a family of completely positive (CP) and trace-preserving (TP) maps acting on the system Hilbert space H. Generally speaking, one calls a map k-positive if the composite map E t ⊗ I k is positive, where k, I k denote the dimensionality of the ancillary Hilbert space and its identity operator, respectively [50]. Provided that E t ⊗ I k is positive for all k ≥ 0 and for all t, then the dynamical map is completely positive.…”