Discrete Integrable Systems

Abstract

In this series of lectures, presented at the CIMPA Winter School on Discrete Integrable Systems in February 2003, we give a review of the application of Lie point symmetries, and their generalizations, to the study of difference equations. The overall theme could be called "continuous symmetries of discrete equations".

Преобразование Дарбу Для Полудискретного Уравнения Коротких Импульсов

“…Выразим преобразование Дарбу на паре Лакса (2.1), (2.2) через матрицу Дарбу. Для этого введем (2 × 2)-матрицу Дарбу D j (λ), которая, действуя на решение Ξ j пары Лакса (2.1), (2.2), порождает другое решение Ξ j [1], т. е.…”

“…Поскольку матрица Дарбу выражена через частные матричные решения H j пары Лакса, представляется уместным выразить матрицу Дарбу через квазидетерминанты 1) . Матричное решение Ξ j [1] пары Лакса (2.1), (2.2) можно записать через частные матричные решения H j в виде квазидетерминантов…”

“…Далее мы вычисляем преобразование Дарбу на скалярных решениях ψ j , φ j пары Лакса (4.4), (4.5) и на скалярных функциях x j , u j уравнения ПДКИ. Для этого возьмем N = 1 и выберем матрицы E (1) , E (1) , H j,1 и Λ 1 следующим образом:…”

“…Абловиц и Ладик предложили идею интегрируемой дискретизации линейной системы уравнений вида уравнений Абловица-Каупа-Ньюэла-Сигура (АКНС), связанной с нелинейными интегрируемыми системами. В то же время Хирота ввел дискретизацию интегрируемых нелинейных уравнений посредством билинеаризации и использовал этот метод для построения солитонных решений [1]- [6]. Совсем недавно была предложена дискретизация уравнения коротких импульсов (КИ) с помощью метода Хироты, а также найдены петлевые решения этого уравнения [7], [8].…”

Umbral Vade Mecum

“…Closed-form evaluations of these Fourier integrals are not available, but the physical effects of the discretization could be investigated numerically, and compared to the Lax pair integrability machinery of [10], or to the results on a variety of discrete KdVs in [14], or to other studies [7].…”