Digraph width measures in parameterized algorithmics

Abstract

Abstract. In contrast to undirected width measures (such as treewidth or clique-width), which have provided many important algorithmic applications, analogous measures for digraphs such as DAGwidth or Kelly-width do not seem so successful. Several recent papers, e.g. those of Kreutzer-Ordyniak, Dankelmann-Gutin-Kim, or LampisKaouri-Mitsou, have given some evidence for this. We support this direction by showing that many quite different problems remain hard even on graph classes that are restricted very beyond simply having small DAG-width. To this end, we introduce new measures K-width and DAGdepth. On the positive side, we also note that taking Kanté's directed generalization of rank-width as a parameter makes many problems fixed parameter tractable.

On Tractable Parameterizations of Graph Isomorphism

“…The Cop player wins if, at the end of the move, the robber is on the vertex just occupied by a cop, and the Robber player wins if all d cops are on the graph and the robber is still not caught. This game is known to capture tree-depth [11] [12] in the following way: Hence a vertex v is a root of a tree-depth decomposition of minimal depth iff the Cop player has a winning strategy using td(G) cops which places the first cop at v. Let root(G) be the set of all roots. In the rest of this section we will provide a self-contained proof that |root(G)| is bounded by a function of d = td(G).…”

Characterizing DAG-depth of Directed Graphs

“…A directed analog of tree-depth was defined under the name DAG-depth [4] by Ganian et al in 2009. Its definition, however, did not provide any structural insight into the parameter since there was no naturally associated decomposition with it.…”

Μερικές Διατάξεις Και Αλγόριθμοι Σε Γραφήματα

“…Παρεμποδίσεις για την Τάξη Κύκλου κτηριστεί από ένα παίγνιο ανίχνευσης γραφημάτων αόρατου φυγά [16], και το βάθος ΔΑΓ (DAG-depth), dd(G), το οποίο μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα παίγνιο ανίχνευσης ορατού φυγά και σταθμευμένων ανιχνευτών [96]. Ενώ οι σχέσεις που παρουσιάζουμε εδώ είναι γνωστές [96,110], χρησιμοποιώντας τους χαρακτηρισμούς παιγνίων προκύπτει μία απλούστερη και πιο διαισθητική απόδειξη. Η δεύτερη δομική παρεμπόδιση που θεωρούμε παρακινείται από τον ορισμό του ασύλου της [129], ένα δομικό χαρακτηριστικό δυϊκό του διατεταγμένου δεντροπλάτους.…”

“…Για την (Η2), από τον ορισμό του S X , εάν X Y και |Y | < k, τότε S X ⊇ S Y , έτσι h(X) ⊇ h(Y ). Συνεπώς το h είναι ένα άσυλο τάξης τουλάχιστον k. Τέλος, είναι τετριμμένο να δούμε ότι, (ii) ⇒ (v) (αφού μπορούμε να ακολουθήσουμε την ίδια στρατηγική με την περίπτωση του αόρατου φυγά), ενώ για την κατεύθυνση (v) ⇒ (ii) αρκεί να θυμηθούμε ότι από τα αποτελέσματα στην [96] για έναν ορατό και ενεργό φυγά υπάρχει μία στρατηγική ανίχνευσης σταθμευμένων ανιχνευτών η οποία είναι επίσης μία μονότονη στρατηγική ΤΕΠΕ-ανίχνευσης.…”

“…Ορίστηκε από τον Eggan στην[71], όπου δείχθηκε ότι είναι μία κρίσιμη παράμετρος για τον προσδιορισμό του ύψους αστεριών των κανονικών γλωσσών (star-height of regular languages). Η επιτυχία του βάθους δέντρου[72,96,110] αναζωπύρωσε το ενδιαφέρον σε αυτή ως σημαντική παράμετρο διγραφημάτων, ιδιαίτερα από την αλγοριθμική σκοπιά. Είναι ιδιαίτερα γνωστό ότι το βάθος δέντρου μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα παίγνιο ανίχνευσης κορυφών όπου ένας ορατός φυγάς παίζει εναντίον ανιχνευτών οι οποίοι μόνο τοποθετούνται και ποτέ δεν μετακινούνται [96].…”