Didactic application of numerical analysis in nonlinear dynamics: Lorenz model study

Abstract

ABSTRACT:We describe a practice designed for the numerical study of the Lorenz model that is a central model in the physics of lasers. The didactical objectives pursued in this practice have a dual nature, considering both the introduction to the knowledge of a physical paradigm of deterministic chaos as the training for the use of certain computational tools for its characterization. The method used to achieve programming is finding solutions of the Lorenz model and systematically studying of their temporal evolution using a Mathematica program. In the academic context, the practice is designed to be included in the curriculum of the degree in physics and to facilitate adaptation to other matters in this area, such as quantum optics, fluids, mechanical vibrations, etc. We first study the steady states, and their linear stability, of the Lorenz model equations and then numerically study the different types of dynamic behavior. We pay special attention to the deterministic chaotic behavior and to the sequence of bifurcations leading from periodic to chaotic behavior (routes to chaos).Key words: Lorenz model, chaos, nonlinear dynamics, laser, didactic, Mathematica. RESUMEN:Describimos una práctica diseñada para el estudio numérico de un modelo central en la física del láser, el modelo de Lorenz. Los objetivos didácticos que se persiguen en la práctica tienen una naturaleza doble, por un parte, la introducción al conocimiento de un paradigma físico del caos determinista y, por otra, la capacitación para la utilización de ciertas herramientas computacionales que permiten su caracterización. El método utilizado para alcanzarlos es la búsqueda de las soluciones del modelo de Lorenz y el estudio sistemático de su evolución temporal mediante el programa Mathematica. En el contexto académico, la práctica está diseñada para ser incluida en el currículum del grado en Física y para facilitar su adaptación a otras materias dentro de este ámbito, como puede ser óptica cuántica, fluidos, oscilaciones mecánicas, etc. Partiendo de las ecuaciones del modelo de Lorenz, estudiamos sus estados estacionarios y su estabilidad lineal, para después estudiar numéricamente los distintos tipos de comportamiento dinámico. Prestamos especial atención al comportamiento caótico determinista y a la secuencia de bifurcaciones que lleva de los comportamientos periódicos a los caóticos (rutas al caos).Palabras clave: Modelo de Lorenz, caos, dinámica no lineal, láser, didáctica, Mathematica. REFERENCES AND LINKS / REFERENCIAS Y ENLACES[1] E.N. Lorenz, "Deterministic nonperiodic flow", J. Atm. Sci. 20, 130-141 (1963).

Programa de aplicación para resolver sistemas de ecuaciones no lineales

“…Para encontrar una solución numérica de la ecuación de Burgers descrito en Quinga (2021) han desarrollado un programa en MATLAB habiendo elaborado un programa para un tipo de ecuación, así como, en (Gómez et al, 2012) implementaron un algoritmo en MATLAB para ecuaciones no lineales. Para el estudio del modelo de Lorenz descrito en (Garcia-Ferrer et al, 2017) ha sido necesario el conocimiento del programa MATHEMATICA, a nivel de usuario, para la caracterización de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.…”