Development of the Valiron–Levin Theorem on the Least Possible Type of Entire Functions with a Given Upper ρ-Density of Roots

Abstract

An entire function such that its roots have a given ρ-density and are located in an angle or on a ray is considered. For such a function, we solve the problem on the least possible type at order ρ. The case without assumptions about the location of the roots was considered by Valiron; the corresponding problem was completely solved by Levin.

Наименьший тип целой функции c корнями заданных усредненных плотностей, расположенными на лучах или в угле

“…Совсем недавно А. Ю. Попов (см. [9]) определил наименьший возможный тип при порядке ρ ∈ (0, 1) целых функций с нулями заданной верхней плотности, расположенными в некотором угле, а В. Б. Шерстюков (см. [10]) решил такую же задачу с дополнительным условием на нижнюю плотность нулей.…”

“…При этом предполагается, что нули лежат либо в некотором угле, либо между двумя прямыми, либо на нескольких правильно расположенных лучах, а также на некоторых более широких множествах. В частности, решена одна из проблем, поставленных в недавнем обзоре [9] (см. § 1, задача 1 * ).…”

“…−ρ (t + cos θ) t 2 + 2t cos θ + 1 2a cos θ + 1) a ρ введена в работе[9].Для формулировки теоремы нам понадобится следующее определение. Пусть θ ∈ [0, π/2).…”