Development of the analytical method of the general mathieu equation solution

Abstract

Запропоновано аналітичний метод розв'язання загального диференціального рівняння Матьє в канонічній формі. Метод ґрунтується на відповідному точному розв'язку, який знайде но для довільних числових параметрів вихідного рівняння a і q. В свою чергу, точний розв'язок виражено через фундамен тальні функції, які представляються рядами по степенях параметрів a і q зі змінними коефіцієнтами. Наряду з рівнянням Матьє, розглядається також рівно сильна йому система диференціальних рівнянь. Показано, що матриця Вронського, яка утворена із фундаментальних функ цій рівняння, являє собою матрицант системи. Тим самим доведено, що фундаментальні функції рівняння Матьє задо вольняють наперед заданим умовам у нульовій точці. З метою розв'язання проблеми чисельної реалізації знайде них точних формул, фундаментальні функції подано степене вими рядами. Для обчислення коефіцієнтів степеневих рядів виведені відповідні рекурентні співвідношення. У результаті досліджень отримано остаточні аналітич ні формули для обчислення характеристичного показника v, визначення якого є центральною частиною будьякої задачі, математичною моделлю якої є рівняння Матьє. Фактично встановлено пряму аналітичну залежність v від вихідних параметрів рівняння a, q. Це особливо важливо, оскільки параметр v відіграє роль індикатора таких властивостей розв'язків рівняння Матьє, як обмеженість і періодичність. Запропонований аналітичний метод являється реаль ною альтернативою застосуванню наближених методів при розв'язанні будьяких задач, що зводяться до рівняння Матьє. Наявність остаточних аналітичних формул дозволятиме у по дальшому уникати процедури пошуку розв'язків рівняння. Натомість, для розв'язання задачі у кожному конкретному випадку, достатньо лише чисельно реалізувати отримані ана літичні формули Ключові слова: загальне рівняння Матьє, аналітичний метод, фундаментальні функції, характеристичний показник