de Rham theorem with cubical forms

Abstract

With a simplicial complex X there is associated a commutative differential graded algebra of polynomial differential forms T(X) together with a filtration T*>*(X) C T*><* + \X) in each degree *. T*«(X) is a differential graded module over the subring of the rationals Zίi*. , q] The deRham theorem for such a complex T(X) is proved. We have demonstrated elsewhere that the refined deRham complex T( X) makes it possible to substantially refine most of the results of the rational homotopy theory. In particular we defined the homotopy category of C'N spaces which is equivalent to an algebraic homotopy category of (TV -1) connected free commutative differential graded algebras over the integers, satisfying a simple algebraic condition on cohomology.

Cohomologie d’intersection modérée. Un théorème de de Rham

“…En se basant sur le travail de Sullivan [18], Cenkl et Porter [5] on construit pour tout complexe simplicial C un complexe de formes differentielles qui calcule la cohomologie moderee (et en particulier, entiere) de C. Ceci leur a permis de generaliser la theorie des modeles minimaux de Sullivan aux coefficients dans un systeme d'anneaux. Le developpement de la theorie des modeles minimaux dans le cadre modere permet, non seulement d'obtenir des renseignements sur la torsion de la cohomologie, mais encore d'etendre la dite theorie au cas "infiniment engendre" (cf.…”

“…Cette homologie partage plusieurs proprietes avec Γhomologie singuliere: description axiomatique [10], theorie de Morse [11], cobordisme [12], Theoreme de Lefschetz [8], Theoreme de deRham [1], [2], [15] .... Elle coincide avec Γhomologie ordinaire pour les varietes lisses, compactes et orientees. L'homologie d'intersection a ete definie en premiere instance dans la categorie lineaire par morceaux [9] (pseudovarietes stratifiees); elle s'etend naturellement aux complexes simpliciaux a Γaide d'une triangulation en drapeaux [13,Appendice] (pseudovarietes stratifiees simpliciales), cadre oύ se developpe [5].…”

“…Un point cle dans la demarche de [5] est la filtration du complexe simplicial C par une suite decroissante de sous-complexes simpliciaux…”

“…Mais elle est naturelle si nous nous plaςons dans le cadre simplicial de [5]; la, le Theoreme de deRham est montre pour les complexes simpliciaux et non seulement pour les varietes simpliciales. La definition d'homologie d'intersection s'etend naturellement aux complexe stratifies; bien sur, certaines proprietes de Γhomologie d'intersection disparaissent dans le passage pseudovarietes stratifiees -complexes stratifies, nous pensons notamment a l'independance de la stratification.…”

“…These modules are defined for any stratified pseudomanifold K and for any perversity p. It is proved that the cohomology of such a differential module IT^q(K) is isomorphic to the intersection cohomology IH£(K;Q q ). The construction of IT^*(K) is based on the deRham complex of Cenkl and Porter when applied to a desingularization of K.En se basant sur le travail de Sullivan [18], Cenkl et Porter [5] on construit pour tout complexe simplicial C un complexe de formes differentielles qui calcule la cohomologie moderee (et en particulier, entiere) de C. Ceci leur a permis de generaliser la theorie des modeles minimaux de Sullivan aux coefficients dans un systeme d'anneaux. Le developpement de la theorie des modeles minimaux dans le cadre modere permet, non seulement d'obtenir des renseignements sur la torsion de la cohomologie, mais encore d'etendre la dite theorie au cas "infiniment engendre" (cf.…”