De quelques aspects de la théorie des $Q$-variétés différentielles et analytiques

Barre, Raymond

doi:10.5802/aif.478

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“…The classifying topos BG of an etale topological groupoid is precisely the quotient of the groupoid, by which I mean the quotient as a topos, not as a space. In this sense, the consideration of the classifying topos BG is related to the work on "quotients" of manifolds, such as that of Satake [33], Barre [3], Molino [25], Pradines-Wouafa-Kamga [27], Van Est [9], Tapia [34], and others.…”

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confidence: 99%

Classifying toposes and foliations

Moerdijk¹

1991

Annales De L’institut Fourier

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Classifying toposes and foliations

Moerdijk¹

1991

Annales De L’institut Fourier

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“…The motivating example is that of a foliation on a manifold, cf., e.g., [ 151. Recall that the leaves of the foliation may be given locally as the level sets of submersions, thus (still locally) as the equivalence classes of suitable equivalence relations. The set of leaves, topologized by the quotient topology, is generally too coarse an object for studying the transversal structure, and several finer types of mathematical structures have been proposed, cf., e.g., [3,8,11,20,23] We recall how the global sections of a sheaf f, associated to a presheaf P on a space M are constructed. In the literature, this is usually done by constructing the sheaf space (local homeomorphism to M), consisting of germs of "elements" of P, at the various points.…”

Section: Local Equivalence Relationsmentioning

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Spaces with local equivalence relations, and their monodromy

Kock

Moerdijk

1996

Topology and its Applications

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We elaborate a suggestion of Grothendieck, and study the invariant sheaves for a local equivalence relation on a space (e.g., a foliation). One of our purposes is to compare this to the standard model for the leaf-(quotient-)space of a foliation, given by the holonomy groupoid. To this end, we prove that, under suitable connectedness assumptions, Grothendieck's invariant sheaves can be described in terms of a closely related, but different, "monodromy" groupoid. Our second purpose is to prove that every Ctale groupoid arises this way.

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“…[X,Y]er(so pour tout Yer( §o, c'est-à-dire X est un automorphisme infinitésimal de 9 . On vérifie aisément que X est feuilleté si et seulement si le flot local (<p^) engendré par X préserve S 1 . L'algèbre de Lie des champŝ -feuilletés est notée 32(M , §î).…”

Section: Champs Feuilletés -Champs Basiquesunclassified

“…(M/Sî') se justifie par le fait que si S< est une fibration localement triviale de base B, l'espace des feuilles M/Si s'identifie à B et X(M/^) s'identifie naturellement à SC(B). La même interprétation reste valable dans le cas des feuilletages transversalement parallélisables pourvu que l'on considère M/ §î comme une Q-variété au sens de [1]. Pour cette même raison, nous préférons l'appellation champ "basique" plutôt que champ "transverse" (cf.…”

Section: 2unclassified

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Décomposition de Hodge basique pour un feuilletage riemannien

Kacimi-Alaoui¹,

Hector²

1986

Annales De L’institut Fourier

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© Annales de l'institut Fourier, 1986, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales de l'institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. Inst. Fourier, Grenoble 36, 3 (1986), 207-227 DÉCOMPOSITION DE HODGE BASIQUE POUR UN FEUILLETAGE RIEMANNIEN par A. EL KACIMI-ALAOUI et G. HECTOR Introduction. Soit M une variété munie d'un feuilletage §î , une forme différentielle a sur M est dite basique si pour tout champ de vecteurs X tangent à 9 on a : î'x a = ^x ^a = 0. Si a est basique, da l'est aussi et on note Sî*(M/9) le complexe des formes basiques de (M,^). L'homologie H*(M/^) de ce complexe s'appelle la cohomologie basique de la variété feuilletée (M , §î). Divers auteurs ont étudié cette cohomologie. Dans [9], G. Schwarz a montré que même si la variété M est compacte, il peut arriver que la cohomologie basique soit de dimension infinie. Dans '[8], B. Reinhart a énoncé un théorème de finitude et de dualité pour la cohomologie basique d'un feuilletage riemannien (i.e. muni d'une métrique quasi-fibrée) sur une variété compacte orientée. *Cet énoncé est malheureusement inexact (cf. [2]). Cependant dans un article récent ([5]), F. Kamber et P. Tondeur affirment que les techniques de Reinhart (basées sur la notion de "complexe transversalement elliptique") s'appliquent pourvu que l'on se restreigne aux feuilletages minimalisables (i.e. admettant une métrique quasi-fibrée pour laquelle les feuilles sont des sous-variétés minimales). Enfin dans [3], les auteurs en collaboration avec V. Sergiescu ont obtenu des résultats de finitude à l'aide de techniques de suites spectrales. Le présent travail part des théorèmes de structure de Fédida [4] et Molino ([6]). Nous y reprenons et développons l'étude du complexe des formes basiques d'un feuilletage riemannien du point de vue de la théorie de Hodge. Mots-clés : Feuilletage-Parallélisme transverse-Forme basique harmonique. 208 A. EL KACIMI-ALAOUI, G. HECTOR Pour un feuilletage transversalement parallélisable (voir 1.1.) le complexe ^(M/®) est un complexe elliptique au-dessus de la variété basique W de ^. A peu de choses près, ceci reste vrai pour un feuilletage riemannien en général (voir 4.6.). Notre résultat essentiel découle de cette observation : pour tout feuilletage riemannien le complexe SI* (M/S*) admet une décomposition de Hodge. Comme conséquence, on trouve le théorème de finitude de H*(M/SÏ) et il en découle que H*(M/ §ï) vérifie la dualité de Poincaré si et seulement si H" (M/ S<) ^ 0 (où n = codim §ï). Ce dernier résultat est obtenu indépendamment par A. Haefliger (communication privée) et V. S...

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De quelques aspects de la théorie des $Q$-variétés différentielles et analytiques

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Classifying toposes and foliations

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Décomposition de Hodge basique pour un feuilletage riemannien

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